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第十一章 统计与概率
第1讲 抽样方法与总体分布的估量
一、选择题
1．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )．
A．总体 B．个体是每一个零件
C．总体的一个样本 D．样本容量
解析 200个零件的长度是总体的一个样本．
答案 C
2．用随机数表法从100名同学(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男同学被抽到的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是＝.
答案 C
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．
A. B. C. D．2
解析 由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案 D
4．甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶5次，两人成果的条形统计图如图所示，则 ( )．
A．甲的成果的平均数小于乙的成果的平均数
B．甲的成果的中位数等于乙的成果的中位数
C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差
D．甲的成果的极差小于乙的成果的极差
解析 由题意可知，甲的成果为4,5,6,7,8，乙的成果为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成果的平均数均为6，A错；甲、乙的成果的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成果的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成果的极差均为4，D错．
答案 C
5．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )．
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
解析 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.
答案 D
6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )．
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4 C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
解析 平均数增加，方差不变．
答案 D
二、填空题
7．体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最终三位数为345的中一等奖，接受的抽样方法是________．
解析 系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规章取样等几步．该抽样符合系统抽样的特点．
答案 系统抽样
8．某学校为了解同学数学课程的学习状况，在1 000名同学中随机抽取200名，并统计这200名同学的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依据频率分布直方图可估量这1 000名同学在该次数学考试中成果不低于60分的同学人数是________．
解析 低于60分同学所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的同学人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的同学人数为1 000－200＝800.
答案 800
9．沈阳市某高中有高一同学600人，高二同学500人，高三同学550人，现对同学关于消防平安学问了解状况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三同学有11人，则n的值等于________．
解析 由＝，得n＝33(人)．
答案 33
10．某班级120名同学在一次百米测试中，成果全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．假如从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成果在[16,18]的同学人数是
__________________________________________________________________．
解析 成果在[16,18]的同学的人数所占比例为＝，所以成果在[16,18]的同学人数为120×＝54.
答案 54
三、解答题
11．某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，由于必需是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
12．某校高一某班的某次数学测试成果(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
13．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2022年开头，对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩处(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
经测算发觉，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120 g/km.
(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；
(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．
解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值甲＝＝120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2排放量的方差
s＝
＝600.
(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值乙＝＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差
s＝，
由于乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s<s，解得90<x<130.
14． 已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名
职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号挨次
平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行
系统抽样．
(1) 若第5组抽出的号码为22，写出全部被抽出职工
(2) 的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．
解 (1)由题意，第5组抽出的号码为22.
由于k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应当为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)由于10名职工的平均体重为
＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
所以样本方差为：s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
记“体重为76公斤的职工被抽取”为大事A，它包括的大事有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．
故所求概率为P(A)＝＝.
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