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高三班级阶段性检测
数学试题（理）
命题人：陈健 审核人：蒋涛
一、 填空题：
1. 设全集为，集合，集合，则(∁)= ▲
2. 命题“对，都有”的否定为 ▲
3. 对于函数,“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）
4. 函数的定义域为 ▲
5. 已知向量，，，若，则实数 ▲
6. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为 ▲
7. 已知的零点在区间上，则的值为 ▲
8. 已知为非零向量，且夹角为，若向量，则 ▲
9. 函数的单调增区间为 ▲
10. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则 ▲
11. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，若，则 ▲
12. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 ▲
13.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 ▲
14. 已知函数，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲
二、解答题：
15. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
16. 设集合，.
（1）当1时，求集合；
（2）当时，求的取值范围．
17. 如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值.
18. 某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单
位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为
5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19. 中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点
作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点
（1）求椭圆的方程;
（2）求证直线过轴上确定点
（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.
20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数（为实常数）的单调区间；
（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．
2021届高三第一次月考（理）
数学答题纸2022.10
一、填空题(14×5＝70分)
1、
2、，
3、充分不必要
4、
5、1
6、
7、1
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、或
二、解答题（共90分）
15、（14分）
（1）
（2）要使在上递增，则
16、（14分）
（1）
（2）
17、（14分）
解：（1）∵，
∴，
即，
∴，即，
（2）∵，
∴，即
∴ ∴，
18、（16分）（1）因时，，所以
（2）每日所获利润
，令得或，
当时，，递增，
当时，，递减，
故当时，取得最大值42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售所获利润最大.
19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为
依题意得：
所以，椭圆的标准方程为
（2）设，，AP=tAQ，则.
结合，得. 设B(x，0)，则，，所以，直线过轴上确定点B(1，0).
（3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： .
依题意得：即得：
且方程的根为.
当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：
.
所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：
同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：
20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数（为实常数）的单调区间；
（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）g （x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
可得g （x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
故g （x）有极大值为g （1）＝0，无微小值．
（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．
当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，
此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，h（x）＝
①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，
此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；
②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．
当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；
当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，
所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；
当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．
（3）不等式（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，
即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．
当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；
当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．
因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．
又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．
下面争辩k＞0的情形．
当x＞0且x≠1时，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．
设h（x）＝lnx－（ x＞0且x≠1），．
记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．
① 当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，
故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．
于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h（x）＞0，
即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h（x）＞0，
即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．
因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．
② 当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．
函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，
又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．
故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，
从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；
而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1） h（x）＜0，
即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，
因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．
综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，
即k的取值范围是（－∞，2]．
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