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时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．现有6名同学收听同时进行的5个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2
解析 每名同学有5种选法，依据分步乘法原理，6名同学有56种选法．
答案 A
2．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( )
A．11种 B．20种
C．21种 D．12种
解析 左边两个开关的开闭方式有22－1＝3(种)，右边三个开关的开闭方式有23－1＝7(种)，故使电路接通的状况有3×7＝21(种)．
答案 C
3．(2021·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
解析 lga－lgb＝lg，问题转化为的值的个数，所以共有A－2＝20－2＝18(个)．
答案 C
4．(2021·全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m开放式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1开放式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 由题意可知a＝C，b＝C＝C，13a＝7b，即13C＝7C，即＝，化简得：13＝，解得m＝6，选B.
答案 B
5．(2021·大纲卷)(1＋x)8(1＋y)4的开放式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
解析 由二项式定理开放式知，(1＋x)8开放式中，x2的系数为C＝28，(1＋y)4开放式中y2的系数为C＝6，故x2y2的系数为28×6＝168，故选D.
答案 D
6．若(2＋x)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9 B．10
C．20 D．120
解析 由题意a9＝C＝10，故选B.
答案 B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．(2021·安徽卷)若8的开放式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析 设第r＋1项开放式为x4项，则开放式的通项可得Tr＋1＝Carx8－r；令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案
8．(2021·重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
解析 骨科、脑外科和内科选派人数可能为(1,1,3)，(2,2,1)，(2,1,2)，(1,2,2)，(3,1,1)，(1,3,1)，故方法种数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝590.
答案 590
9．(2021·南京模拟)若对于任意实数x，有x5＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)5，则a1＋a3＋a5－a0＝________.
解析 令x＝3得a0＋a1＋…＋a5＝35，令x＝1得a0－a1＋…－a5＝1，两式相减得a1＋a3＋a5＝＝121，令x＝2得a0＝25＝32，故a1＋a3＋a5－a0＝121－32＝89.
答案 89
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)若n开放式中前三项系数成等差数列．求：
(1)开放式中含x的一次幂的项；
(2)开放式中全部x的有理项．
解 由已知条件：
C＋C·＝2C·，
解得n＝8(n＝1，不合题意，舍去)．
(1)Tr＋1＝C()8－rr＝C·2－r·x ，
令4－r＝1，得r＝4，
∴x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.
(2)令4－r∈N(r≤8)，
则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝x， T9＝.
11．(本小题10分)已知(1＋3x)n的开放式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：
(1)开放式中二项式系数最大的项；
(2)开放式中系数最大的项．
解 (1)由已知得C＋C＋C＝121，则n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，所以，开放式中二项式系数最大的项是T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
(2)Tr＋1＝C(3x)r，由题意得，设第r＋1项系数最大，则
∴11≤r≤12.
所以开放式中系数最大的项对应的r＝11、12，即开放式中系数最大的项是T12＝C(3x)11和T13＝C(3x)12.
12．(本小题10分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现接受分层抽样方法(层内接受不放回简洁随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
解 (1)由于甲组和乙组各有10名工人，所以按分层抽样抽取样本4人，甲、乙两组各有2人被抽取．
(2)设A表示大事：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝＝.
(3)Ai表示大事：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.
Bj表示大事：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j＝0,1,2.
B表示大事：抽取的4名工人中恰有2名男工人．
Ai与Bj 独立，i，j＝0,1,2，且B＝A0·B2＋A1·B1＋A2·B0.
故P(B)＝P(A0·B2＋A1·B1＋A2·B0)
＝P(A0)·P(B2)＋P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B0)
＝·＋·＋·＝.
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