1、全盘巩固1.两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等,灯塔A在观看站南偏西40,灯塔B在观看站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析:选D由条件及图可知,AB40,又BCD60,所以CBD30,所以DBA10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2某人向正东方向走x km后,向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离动身点恰好是 km,那么x的值为()A. B2 C.或2 D3解析:选C如图所示,设此人从A动身,则ABx,BC3,AC,ABC30,由余弦定理得()2x2322x3cos 30,整理得x23x60,解得x或2.3如图所示,在坡度确定
2、的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45,若CD50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos ()A. B2 C.1 D.解析:选C在ABC中,由正弦定理可知,BC50(),在BCD中,sinBDC1.由题图,知cos sinADEsinBDC1.4张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的大路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 km C3 km D2 km解析:选B如图,
3、由条件知AB246.在ABS中,BAS30,AB6,ABS18075105,所以ASB45.由正弦定理知,所以BSsin 303 km.5一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m解析:选A设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,A60,ACh,AB100,BCh,依据余弦定理,得(h)2h210022h100cos 60,整理得h250h5 0000,即(h50)
4、(h100)0,故h50 m,故水柱的高度是50 米6. 如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为45,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 m C37.3 m D373 m解析:选C在ACE中,tan 30.AE m.在AED中,tan 45,AE m,CM10(2)37.3 m.7甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则乙楼的高是_米解析:如图,依题意甲楼高度AB20tan 6020,又CMDB20米,CAM60,所以AMCM 米,所以乙楼的高CD20 米答案:8(2022舟山模
5、拟)已知A船在灯塔C北偏东80处,且A船到灯塔C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40处,A,B两船间的距离为3 km,则B船到灯塔C的距离为_km.解析:如图,由已知得ACB120,AC2,AB3.设BCx,则由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos 120,即3222x222xcos 120即x22x50,解得x1.答案:19如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB_.解析:设ABh,在ABC中,tan 60,则BCh,在BCD中,DBC1801530135,由正弦定
6、理得,即,解得h15.答案:1510隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C、D两点,同时,测得ACB75,BCD45,ADC30,ADB45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离解:如图,在ACD中,ACD120,CADADC30,所以ACCD.在BCD中,BCD45,BDC75,CBD60,由正弦定理知BC.在ABC中,由余弦定理,得AB2AC2BC22ACBCcosACB()222cos 75325,所以AB km,所以两目标A,B之间的距离为 千米11为扑灭某着火点,现场支配了两支水枪,如图,D是着火点,A、B分别是水枪位置,已知AB15 m,在A处看
7、到着火点的仰角为60,ABC30,BAC105,求两支水枪的喷射距离至少是多少?解:在ABC中,可知ACB45,由正弦定理得,解得AC15 m.又CAD60,AD30,CD15,sin 105sin(4560).由正弦定理得,解得BC m.由勾股定理可得BD15 m,综上可知,两支水枪的喷射距离至少分别为30 m,15 m.12如图,在海岸A处发觉北偏东45方向,距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30方向逃跑问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并
8、求出所需时间解:设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD10t海里,BD10t海里,在ABC中,由余弦定理,有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206,解得BC.又,sinABC,ABC45,B点在C点的正东方向上,CBD9030120,在BCD中,由正弦定理,得,sinBCD.BCD30,缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中,CBD120,BCD30,D30,BDBC,即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟冲击名校如图,摄影爱好者在某公园A处,发觉正前方B处有一立柱,测得
9、立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30,已知摄影爱好者的身高约为 米(将眼睛S距地面的距离SA按 米处理)(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观看彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值?若存在,恳求出MSN取最大值时cos 的值;若不存在,请说明理由解:(1)如图,作SCOB于C,依题意CSB30,ASB60.又SA,故在RtSAB中,可求得AB3 m,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米在RtSCO中,SC3,CSO30,OCSCtan 30
10、,又BCSA,故OB2 m,即立柱的高度OB为2 米(2)存在cosMOScosNOS,于是得SM2SN226从而cos .又MSN为锐角,故当视角MSN取最大值时,cos .高频滚动1在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b5c,C2B,则cos C()A.B C D.解析:选A由正弦定理,将8b5c及C2B代入得,化简得,则cos B,所以cos Ccos 2B2cos2B1221.2在ABC中,a3,b2 ,B2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值解:(1)由于a3,b2,B2A,所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A,所以sin A .又由于B2A,所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中,sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.