1、习题课(2)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列a，a(1a)，a(1a)2是等比数列，则实数a的取值范围是()Aa0Ba1Ca0或a1 Da0且a1解析：由题意得数列的首项为a，公比为1a，明显a0,1a0，即a0且a1.答案：D2(2022安徽卷)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则a5()A1 B2C4 D8解析：依据等比数列的性质可知a3a11a16，又an的各项都是正数，从而a7a5224，所以a51.答案：A3(2022北京卷)已知an为等比数列下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2aC若a1a3，则a1a2D若a3a1，则a4a2解析：设an
2、的公比为q.对于A，若a1a32a2，则a1(q22q1)0，即a1(q1)20，由于a1不能推断正负，所以A不正确；对于B，若aa2a，则a(q21)20，由于a0，且(q21)20，所以B正确；对于C，由a1a3，得q1或q1，所以C不正确；对于D，若a3a1，则a1(q21)0，而若a4a2，则a2(q21)0，即a1q(q21)0，由于q不能推断正负，所以D不正确答案：B4将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，依次取相邻两项的乘积，组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不愿定是等比数列解析：由题意得
3、a2a1q，a3a1q2，a4a1q3，从而a1a2aq，a2a3aq3，a3a4aq5，所以数列a1a2，a2a3，a3a4，是公比为q2的等比数列答案：B5在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15()A12 B4C3 D2解析：设等比数列an的公比为q，则q4.由于q8，所以a9a112，同理可得a13a151，所以a9a11a13a153.答案：C6设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2a50，则下列式子中的值不能确定的是()A. B.C. D.解析：设等比数列an的公比为q，则由已知得q38，解得q2，因此选项A，B，C中的值均可确定答案：D二、填空题(
4、每小题6分，共18分)7(2022广东卷)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.解析：由于a2a4a，所以a1aa5a.答案：8(2022辽宁卷)已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q_.解析：2(anan2)5an1，2an(1q2)5anq，2(1q2)5q，解得q2或q.等比数列an为递增数列，且a10，q1，q2.答案：29设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则XZ2Y；Y(YX)Z(ZX)；Y2XZ；Y(YX)X(ZX)中，恒成立的是_(填序号)解析：等比数列中，连续n项和仍成等比数列，即X，Y
5、X，ZY成等比数列，所以(YX)2X(ZY)，化简得Y(YX)X(ZX)，故正确取等比数列1,2,4，令n1，则X1，Y3，Z7，可以验证都不正确答案：三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)10(本小题15分)设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330，求an和Sn.解：设an的公比为q，由题设得，解得或.当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.11(本小题15分)已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN*，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1
6、q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn.(2)对任意kN*,2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，对任意kN*，ak，ak2，ak1成等差数列12(本小题16分)(2022山东卷)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解：(1)由于an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，a428.设数列an的公差为d，则5da9a445，d9.由a4a13d得28a139，即a11.所以an19(n1)9n8.故数列an的通项公式为an9n8.(2)对mN*，若9man92m，即9m89n92m8，则9m11n92m1，则bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1)(92m1109m1)
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