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习题课(2)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠0或a≠1 D．a≠0且a≠1
解析：由题意得数列的首项为a，公比为1－a，明显a≠0,1－a≠0，即a≠0且a≠1.
答案：D
2．(2022·安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：依据等比数列的性质可知a3a11＝a＝16，又{an}的各项都是正数，从而a7＝a5×22＝4，所以a5＝1.
答案：A
3．(2022·北京卷)已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是( )
A．a1＋a3≥2a2
B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2
D．若a3>a1，则a4>a2
解析：设{an}的公比为q.对于A，若a1＋a3≥2a2，则a1(q2－2q＋1)≥0，即a1(q－1)2≥0，由于a1不能推断正负，所以A不正确；对于B，若a＋a≥2a，则a(q2－1)2≥0，由于a>0，且(q2－1)2≥0，所以B正确；对于C，由a1＝a3，得q＝1或q＝－1，所以C不正确；对于D，若a3>a1，则a1(q2－1)>0，而若a4>a2，则a2(q2－1)>0，即a1q(q2－1)>0，由于q不能推断正负，所以D不正确．
答案：B
4．将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积，组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不愿定是等比数列
解析：由题意得a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3，…，从而a1a2＝aq，a2a3＝aq3，a3a4＝aq5，…，所以数列a1a2，a2a3，a3a4，…是公比为q2的等比数列．
答案：B
5．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝( )
A．12 B．4
C．3 D．2
解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q4＝.由于＝q8＝，所以a9＋a11＝2，同理可得a13＋a15＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝3.
答案：C
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中的值不能确定的是( )
A. B.
C. D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q3＝－8，解得q＝－2，因此选项A，B，C中的值均可确定．
答案：D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2022·广东卷)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.
解析：由于a2a4＝a＝，所以a1aa5＝a＝.
答案：
8．(2022·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.
解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an(1＋q2)＝5anq，
∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝.
∵等比数列{an}为递增数列，且a1>0，∴q>1，∴q＝2.
答案：2
9．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则①X＋Z＝2Y；②Y(Y－X)＝Z(Z－X)；③Y2＝XZ；④Y(Y－X)＝X(Z－X)中，恒成立的是________(填序号)．
解析：等比数列中，连续n项和仍成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，所以(Y－X)2＝X(Z－Y)，化简得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故④正确．取等比数列1,2,4，令n＝1，则X＝1，Y＝3，Z＝7，可以验证①②③都不正确．
答案：④
三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)
10．(本小题15分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得，解得或.
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
11．(本小题15分)已知等比数列{an}的公比q＝－.
(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；
(2)证明：对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，
所以数列{an}的前n项和Sn＝
＝.
(2)对任意k∈N*,2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
12．(本小题16分)(2022·山东卷)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
解：(1)由于{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝45，d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝1＋9(n－1)＝9n－8.
故数列{an}的通项公式为an＝9n－8.
(2)对m∈N*，若9m<an<92m，即9m＋8<9n<92m＋8，则9m－1＋1≤n≤92m－1，则bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝(92m＋1－10×9m＋1)．
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