资源描述
几何证明选讲(选修系列)A
一、学问梳理
（一）、相像三角形的判定及有关性质
1．平行线等分线段定理及其推论
（1）定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：
①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2．平行线分线段成比例定理及推论
（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。如图，若，
则有：
注：把推论中的题设和结论交换之后，命题照旧成立。
3．相像三角形的判定及性质
（1）相像三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形，相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）。
（2）相像三角形的判定
①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相像。
如图，若EF//BC，则⊿AEF∽⊿ABC。
②判定定理1：两角对应相等，两三角形相像。
③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。
④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相像。
注：依据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必定相等，由判定定理1即可判定其相像；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不愿定相像。
（3）直角三角形相像的判定：
①上述全部的任意三角形相像的判定皆适用于直角三角形。
②定理1：假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相像。
③定理2：假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相像。
④定理3：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像。
（4）相像三角形的性质
①相像三角形的性质（一）
（ⅰ）相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比。
（ⅱ）相像三角形周长的比等于相像比。
（ⅲ）相像三角形面积的比等于相像比的平方。
②相像三角形的性质（二）
（ⅰ）相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比。
（ⅱ）相像三角形外接圆的面积比等于相像比的平方。
4．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
如图，在Rt⊿ABC中，CD是斜边AB上的高，
则有CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB。
（二）、直线与圆的位置关系
1．圆周角定理
（1）圆周角定理及其推论
①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②推论
（ⅰ）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
（ⅱ）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。
（2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
2．圆内接四边形的性质与判定定理
（1）圆内接四边形的性质定理
①定理1：圆内接四边形的对角互补。
②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
（2）圆内接四边形的判定定理及推论
①判定定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
②推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3．圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理及推论
（1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
（2）推论：
①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4．弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。
5．与圆有关的比例线段
圆中的比例线段
定理名称
基本图形
条件
结论
应用
相交弦定理
弦AB、CD相交于圆内点P
（1）PA·PB=PC·PD
（2）⊿ACP∽⊿BDP
（1）在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一（2）求弦长及角
割线定理
PAB、PCD是⊙的割线
PA·PB=PC·PD
（2）⊿PAC∽⊿PDB
（1）求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD
（2）应用相像求AC、B
切割线定理
PA切⊙于A，PBC是⊙的割线
（1）PA2=PB·PC
（2）⊿PAB∽⊿PCA
（1）已知PA、PB、PC知二可求一
（2）求解AB、AC
切线长定理
PA、PB是⊙的切线
（1）PA=PB
（2）∠OPA=∠OPB
（1）证线段相等，已知PA求PB
（2）求角
二、题型探究
[题型探究一]：相像三角形的判定及有关性质
（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用
例1：如图，F为平行四边形ABCD边AB上一点，连DF交AC于G，延长DF交CB的延长线于E。求证：DG·DE=DF·EG
思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC，∵AD∥BC，∴，又∵AB∥DC，∴∴，即DG·DE=DF·EG。
[题型探究二]：相像三角形判定定理的应用
例2：如图，BD、CE是⊿ABC的高，求证：⊿ADE∽⊿ABC。
解答：
[题型探究三]：相像三角形性质定理的应用
例3：⊿ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形的边长。
思路解析：利用相像三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。
解答：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，⊿ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm，
∵PN∥BC，∴⊿APN∽⊿ABC。∴∴。解得x=4.8(cm).
答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm。
[题型探究四]：直角三角形射影定理的应用
例4：如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3=BC·BE·CF。
思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键。
解答：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=900，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2=BE·AB，
同理CD2=CF·AC，∴BD2·CD2= BE·AB·CF·AC ①
又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·DC ②
由①②得AD4= BD2·CD2 =BE·AB·CF·AC= BE·AB·AD·BC
∴AD3=BC·BE·CF
[题型探究五]：圆周角定理的应用
例5：如图，已知⊙是⊿ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙的直径。求证：AC·BC=AE·CD。
解答：连接EC，
∴∠B=∠E。∵AE是⊙的直径，∴∠ACE=900。∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=900。在⊿AEC与⊿CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴⊿AEC∽⊿CBD。∴，即AC·BC=AE·CD。
[题型探究六]：圆内接四边形及判定定理的应用
例6：如图，已知AP是⊙的切线，P为切点，AC是⊙的割线，与⊙交于B，C两点，圆心在∠PAC的内部，点M是BC的中点。
（1）证明：A，P，，M四点共圆；
（2）求∠OAM+∠APM的大小。
思路解析：要证A、P、、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；依据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出∠OAM+∠APM的大小。
解答：（1）连接OP，OM，
由于AP与⊙相切于点P，所以OP⊥AP，由于M是⊙的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=1800。由圆心在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。
（2）由（1）得A，P，，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，由圆心在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=900，所以∠OPM+∠APM=900。
[题型探究七]：圆的切线的性质及判定的应用
例7：已知AB是⊙的直径，BC是⊙的切线，切点为B，OC平行于弦AD（如图）。求证：DC是⊙的切线。
解答：连接OD。
∵OA=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4。又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC。∵BC是⊙的切线，∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，∴DC是⊙的切线。
[题型探究八]：与圆有关的比例线段
例8：如图所示，已知⊙与⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点D、E，DE与AC相交于点P。
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。
解答：（1）连接AB，
∵AC是⊙的切线，∴∠BAC=∠D。又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC。
（2）设BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12 ①
∵AD∥EC,∴ ②
由①②可得，，∴DE=9+x+y=16.
∵AD是⊙的切线，DE是⊙的割线，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12。
三、方法提升
1、学问重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是争辩相像形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接推断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特殊留意对应的问题。
这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要留意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的挂念线要能“一线两用”．
2、相像三角形的定义、判定和性质是学校已学的内容，但在学校平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲学问的学习可以体会规律推理、几何证明的重要性，在解题过程中应留意观看基本图形与定理间的关系，通过查找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相像，再查找三角形相像的条件，从而发觉证题思路．
3、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又经常和相像三角形联系在一起，因此在解题中要擅长观看图形，对简洁的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而精确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要留意方程的思想的运用.
4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，经常需要探求线段相等或倍分或成比例、角相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两个圆中，需要认真观看图形，留意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又经常通过这些公共元素将其他元素联系在一起.另外要留意分类争辩这一思想方法的应用.
5、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要留意观看图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质．
6、当两圆相交时，经常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题．
四、反思感悟
五、高考真训练：
1．（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.
解析：,由直角三角形射影定理可得
2．（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 【答案】
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相像三角形的性质，属于中等题。
由于A,B,C,D四点共圆，所以,由于为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
3．（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
【答案】
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础学问，属于简洁题。
令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为
4．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
由于是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）由于△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分
5．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关学问，考查推理论证力气。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
由于AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
由于DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又由于DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。
六、考点模拟演练
一、填空题
1．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于________．
答案：
解析：设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得＝，即＝，所以x＝，于是＝.
2．在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，设该图中共有x个三角形与△ABC相像，则x＝________.
答案：2
解析：2个，△ACD和△CBD.
3．在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DE∶BC的值为________．
答案：1∶2
解析：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相像比的平方可得答案．
4、（惠州2011高三第三次调研考试文）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B
两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_____________.
答案：设圆的半径为R,由得解得R=2。
5、（江门2011高三上期末调研测试理）如图4，点A，B，C是
圆O上的点，且，，，则对应的劣弧长为 ．答案：
6．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tanθ的值为________．
答案：
解析：设BD＝k(k>0)，由于AD＝5DB，所以AD＝5k，AO＝OB＝＝3k，所以OC＝OB＝3k，OD＝2k.由勾股定理得，CD＝＝＝k，所以tanθ＝＝＝.
7．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E.已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.
答案：4
解析：由切割线定理得：PC2＝PA×PB＝2×(6＋2)＝16，所以PC＝4，连接OC，由题意可知，OC⊥PC，又OP＝5，故在Rt△PCO中，cos∠CPO＝＝，在Rt△PCE中，cos∠CPO＝＝，故EP＝，OE＝OP－EP＝.
8．如图所示，已知圆O的直径AB＝，C为圆O上一点，且BC＝，过点B的圆O的切线交AC的延长线于点D，则DA＝________.
答案：3
解析：由题意知三角形ABC为直角三角形，由勾股定理，得AC＝2，又在直角三角形ABD中，∠ABD为直角，BC为斜边AD上的高，所以BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴DA＝AC＋CD＝3，故填3.
A
B
C
D
O
9、（2011丰台二模理10）．如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知
∠D=46°，则∠A= ．
答案：67°
10、（2011海淀二模理12）如图，已知的弦交半径于点，若，，且为的中点，则的长为 .
答案：
11．两个相像三角形的面积分别为9 cm2和25 cm2，它们的周长相差6 cm，则较大的三角形的周长为________cm.
解析：由于两个相像三角形面积分别为9 cm2和25 cm2，所以面积之比为9∶25，相像比为3∶5，则周长比为3∶5，设小三角形周长为x cm，则大三角形周长为(x＋6)cm，所以x∶(x＋6)＝3∶5，x＝9(cm)，x＋6＝15(cm)．
答案：15
12．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9 cm2，S△AOB＝________.
答案：36 cm2
解析：在▱ABCD中，AB∥DE，
∴△AOB∽△EOD，∴＝()2，
∵E是CD中点，∴DE＝CD＝AB，
∴＝2，∴＝22＝4，∴S△AOB＝4S△DOE，
而S△DOE＝9 cm2，∴S△AOB＝4×9＝36(cm2)．
13．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件：________，使得△ADE∽△ABC.
答案：∠1＝∠B或(∠2＝∠C或＝)
解析：∵∠A＝∠A，由两角对应相等，两三角形相像，可添加∠1＝∠B或∠2＝∠C，由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像，可添加＝.
14．如右图，AB为⊙O的直径，弦AC＝4 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________cm.
答案：
解析：由AB为⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB＝5，因S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，
故3×4＝5·CD，所以CD＝ cm.
15．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为________．
答案：
解析：连结CO，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.即△ABC为直角三角形，又AB＝6，BC＝3，
∴sin∠CAB＝.∴∠CAB＝30°，∴AC＝3，AO＝OC.∴△AOC为等腰三角形．∴∠ACO＝30°.又l为⊙O的切线，∴OC⊥l，即∠DCO＝90°.
∴∠DCA＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝.
16.如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.
答案：3
解析：如图，由于△COF∽△PDF，所以＝，
即DF×CF＝OF×FP ①.
由于弦AB、CD相交于点F，
所以由相交弦定理得：
DF×FC＝BF×FA ②，
由①②可得：BF×FA＝OF×FP ③，
设BF＝x，则PF＝2＋x，OF＝2－x，所以FA＝2＋(2－x)＝4－x.
代入③式，得：x(4－x)＝(2－x)(2＋x)，即4－x2＝4x－x2，解得x＝1.
故PF＝PB＋BF＝2＋1＝3.
二、解答题
17.如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.
(1)求线段PF的长度；
(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．
解：(1)连接OC，OD，OF.由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件可得∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴＝.由AB＝2BP＝4得，PA＝6，BP＝2，
由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.
(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
由于OF＝2－r＝1，故r＝1，所以OB是圆F的直径，
又过P点的圆F的切线为PT，
则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2.
18．如右图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，且a>b，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与B、C重合，当P是AB的中点时，若以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相像，这时的Q点能有几个？分别求出相应的CQ的长．
解：(1)当PQ⊥BC时，△PCQ∽△ABC.∵∠ACB＝90°，PA＝PB，
∴CP＝PB，∴∠PCQ＝∠B.又∠PQC＝∠ACB＝90°，
∴△PCQ∽△ABC，CQ＝CB＝a.(2)当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△BCA.
∵∠PCQ＝∠B，∠CPQ＝∠ACB＝90°，∴△CPQ∽△BCA，则＝.
有＝，∴CQ＝.故Q点有两个，CQ的长度分别是a和.
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