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泉州一中2021届高中毕业班5月模拟质检
数学（文科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
锥体体积公式 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式 其中为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是
A．“若，则”的逆命题为真
B．为实数，若，则
C．命题：，使得，则：，使得
D．若命题为真，则假真
3．设向量、均为单位向量，且，则、的夹角为
A． B． C． D．
4．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为
A.-2 B.0 C.1 D.2
5．已知函数，则
A．为偶函数且最小正周期为 B.为奇函数且最小正周期为
C. 为偶函数且最小正周期为 D.为奇函数且最小正周期为
开头
S=1，i=1
结束
i=i+2
i >7?
输出S
是
否
S=S+i
图1
6．已知表示两个相互垂直的平面，表示一对异面直线，
则的一个充分条件是
A. B.
C. D.
7．执行如右图1所示的程序框图，则输出的值是
A．10 B．17
C．26 D．28
8．设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
图2
A．
B．
C.
D.
9．已知抛物线，过其焦点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，则弦的长为
A. B. 2 C.4 D. 8
10．在中， ，，则的最小值是
A． B． C． D．
11．设函数 若,则实数的取值范围是
A． B.
C． D．
12．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为、, 这两条曲线在第一象限的交点为, 是以为底边的等腰三角形.若, 椭圆与双曲线的离心率分别为、, 则的取值范围为
A． B. C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
13．是虚数单位，复数的模为__________.
14．已知、、分别为三个内角、、的对边，
则角__________.
15．已知，且满足，则的最小值为_____________.
16．定义在实数集上的函数的图象是连续不断的，若对任意实数，存在实数使得恒成立，则称是一个“关于的函数”.给出下列“关于的函数”的结论：
①是常数函数中唯一一个“关于的函数”；
②“关于的函数”至少有一个零点；
③是一个“关于的函数”．
其中正确结论的序号是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列且公差，，，为和的等比中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知函数的图像过点，
（Ⅰ）若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，
求的值；
（Ⅱ）求函数的最值.
19．（本小题满分12分）
某校高三年有375名同学，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年同学每天课外阅读的平均时间（单位：小时），接受分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.
频率/组距
0.08
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
时间（小时）
0.16
0.24
0.32
0.40
0.80
（Ⅰ）应抽取男生多少人? 并依据样本数据，估量该校高三年同学每天课外阅读的平均时间；
（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的同学中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.
20．（本小题满分12分）
如图所示，几何体中，为正三角形，⊥, , ,
（Ⅰ）在线段上找一点，使平面，并证明；
（Ⅱ）求证：面面.
B
A
C
D
E
21．（本小题满分12分）
已知圆的圆心在直线上
（Ⅰ）若圆经过和两点．
i）求圆的方程；
ii）设圆与轴另一交点为，直线过点且与圆相切．设是圆上异于 的动点，直线与直线交于点．试推断以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）设点，若圆C半径为，且圆上存在点，使，求圆心 的横坐标的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）争辩函数的单调性；
（Ⅲ）若函数有两个极值点和，设过，的直线的斜率为，求证：．
泉州一中2021届高中毕业班5月模拟质检
数学（文科）试卷参考答案及评分 标准
一、选择题
1-5 D D C C A 6-10 D B D D C 11-12 B A
二、填空题
13. 14. 15. 16. ②
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列且公差，，，为和的等比中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：（Ⅰ），为和的等比中项．
，即，……………………………………… 2分
化简得 ……………………………………… 4分
，解得
；………………………………………6分
（Ⅱ）
，………………………………………8分
=.……………………………12分
18．（本小题满分12分）
已知函数的图像过点，
（Ⅰ）若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，
求的值；
（Ⅱ）求函数的最值.
解：（Ⅰ）函数的图像过点，
………………………………………………………………………… 2分
即点，，
……………………………………… 4分
.………………………………6分;
（Ⅱ）,…………………………………………………………7分
,
,………………………………………8分
当时，即时，，………………………10分
当时，即时，.………………………12分
19．（本小题满分12分）
某校高三年有375名同学，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年同学每天课外阅读的平均时间（单位：小时），接受分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.
频率/组距
0.08
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
时间（小时）
0.16
0.24
0.32
0.40
0.80
（Ⅰ）应抽取男生多少人? 并依据样本数据，估量该校高三年同学每天课外阅读的平均时间；
（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的同学中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.
解：应抽取男生人，……………………………………………… 2分
该校高三年同学每天课外阅读的平均时间为
，
………………………………………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的同学有6人，…………………………… 6分
其中读平均时间不少于2小时有3人，………………………… 7分
令这三人分别为.另外三人为，
设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为大事，………………………………………………………………………………… 8分
从中抽中的这两个人全部状况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
………………………………………………………………………………………… 10分
这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的状况为，，，，，，，，共9种
…………………………………………………………………………………11分
抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为.
…………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
如图所示，几何体中，为正三角形，⊥, , ,
（Ⅰ）在线段上找一点，使平面，并证明；
M
F
B
A
C
D
E
（Ⅱ）求证：面面.
解：（Ⅰ）点为线段中点，…………………………………………………………2分
证明如下：
取线段中点，连结，,
，
则，且，
所以四边形平行四边形，则，………………………………………4分
又平面，平面
平面；…………………………………………6分
（Ⅱ）为正三角形，
，
⊥,平面，
，
，
面………………………………………8分
面………………………………………10分
又平面
面面.…………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
已知圆的圆心在直线上
（Ⅰ）若圆经过和两点．
i）求圆的方程；
ii）设圆与轴另一交点为，直线过点且与圆相切．设是圆上异于 的动点，直线与直线交于点．试推断以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）设点，若圆C半径为，且圆上存在点，使，求圆心 的横坐标的取值范围．
解：（Ⅰ）设圆方程为，则圆心为.……………1分
i）由题意知 ………………………………………2分
解得：圆 ………………………………3分
ii）知， 则
设
，
以为直径的圆的圆心，半径
………………….5分
即 ……………………………… 6分
以为直径的圆的圆心到的距离设为
则 . ………………………………7分
又点在圆上，
故以为直径的圆与直线总相切 ………………………………………………8分
（Ⅱ）设圆心，设
点在圆上 ………………………………10分
又点在圆上
圆与圆有公共点
………………………………11分
或 ……………………………….12分
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）争辩函数的单调性；
（Ⅲ）若函数有两个极值点和，设过，的直线的斜率为，求证：．
解：（Ⅰ）当时，，则……………………1分
……………………2分
函数在点处的切线方程，
化简得……………………3分
（Ⅱ），令
①当时，，，则在恒成立，在上单调递增；…………………………………………5分
②当时（
ⅰ）当时，，则在恒成立，在上单调递增；…………………………………………6分
（ⅱ）当时，有两根，又，
对称轴，且,
令，解得或此时
令，解得，此时……………………8分
综上所述：当或时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减。
………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数有两个极值点和，则，且，不妨设
又=
=.…………………………………10分
欲证，即证，
即证即证 又，，且
即证在上恒成立…………………………………11分
令，
在上是递减函数
………………………………13分
在上恒成立
.……………………………14分
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