2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第2讲-等差数列及其前n项和-.docx

第2讲 等差数列及其前n项和
一、选择题
1．假如等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于(　　)
A．14 　 B．21
C．28 D．35
解析 ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，∴a4＝4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28，故选C.
答案 C
2．已知递减的等差数列{an}满足a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取
最大值时n＝(　　)
A．3 B．4
C．4或5 D．5或6
解析 由已知得a－a＝0，即(a1＋a9)·(a1－a9)＝0，
又∵a1>a9，∴a1＋a9＝0，
又∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝0，
∴数列前4项为正值，从第6项起为负值，
∴S4＝S5且为最大．选C.
答案 C
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)．
A．－1 B．1 C．3 D．7
解析　两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.
答案　B
4．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 (　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.
答案　C
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是 (　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析　由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．
答案　D
6．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根组成首项为的等差数列，则a＋b的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析 设四个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.由于x1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝，x4＝，从而x2＝，x3＝.
则a＝x1x4＝，b＝x2x3＝，或a＝，b＝，∴a＋b＝＋＝.
答案 D
二、填空题
7． 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，由于a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
答案　35
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．
解析　依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.
答案　6
9．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.[来源
解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝，∵a4＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，d＝，ak－a9＝(k－9)d,13－7＝(k－9)×，k＝18.
答案 18
10．已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，则kn＝________.
解析 由题意知a1·a17＝a，a1(a1＋16d)＝(a1＋4d)2，得a1＝2d，＝3，∴akn＝a13n－1＝a1＋(kn－1)，kn＝2·3n－1－1.
答案 2·3n－1－1
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{an}的通项公式．
解　由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.
又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，
∴16－25d2＝7，∴d2＝，∴d＝或d＝－.
当d＝时，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×＝n－；
当d＝－时，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×＝－n＋.
∴数列{an}的通项公式为an＝n－或an＝－n＋.
12．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，
则由得
解得∴an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由bn＝＝＝，
∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．
13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
解　(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝＝＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.
(2)令an≥0，得n≤5.
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)
＝n2－9n＋40，
∴Sn＝
14．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)证明数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项；
(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
解 (1)证明：将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.
(3)λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，
即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．
整理得λ≤，
令cn＝，
cn＋1－cn＝－
＝.
由于n≥2，所以cn＋1－cn>0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝.所以λ的取值范围为.