【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：3.7-正弦定理和余弦定理-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十一)正弦定理和余弦定理 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,B=45, C=60,c=2,则最短边的长为()A.B. C.1D.【解析】选A.由于B=45,C=60,所以A=180-(B+C)=75,BCc,即AC,故C为锐角,所以C=.【误区警示】本题简洁由sin C=得sin C=,没有利用ac推断AC,就得出C=或.从而导致增解.3.(2021温州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=()A.30B.60C.120D.150【解析】选A.由于sin C=2sin B,所以由正弦定理得c=2b,由于a2-b2=bc,所以a2=b2+b2b=7b2,即a=b,cos A=由于0A0),则cos B=4.(2021福州模拟)已知ABC中,sinA=817,cosB=35,则cosC等于()A.-1385或7785B.7785C.-7785D.-1385【解析】选D.由cosB=350得B为锐角,所以sinB=1-cos2B=45;由sinA=81745=sinB,由正弦定理得AB,当A为钝角,不符合内角和定理,所以A为锐角,由sinA=817,得cosA=1-sin2A=1517,由cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-1385,故答案为D.5.(2021临沂模拟)在ABC中,若sin Bsin C=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则ABC是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行推断.【解析】选D.由于sin Bsin C=cos2=,所以2sin Bsin C=1+cos-(B+C)=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,即cos Bcos C+sin Bsin C=1,所以cos(B-C)=1.由于B,C是ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,又由于sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90,故ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=6,c=23,则b=.【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-2223cos6=16-12=4,所以b=2.答案:2【加固训练】若A=60,a=7,b=5,则c=.【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=25+c2-25ccos 60,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2021黄山模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=.【解析】由正弦定理,得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:18.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.【解题提示】由较大的边对的角都是锐角,依据余弦定理列不等式组求解.【解析】由于232,22+32x2,即5x20,所以5x13.答案:(5,13)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解题提示】依据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)由于A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由正、余弦定理得a=2b,由于b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cos A=由于0A,所以sin A=故sin(A+)=sin Acos+cos Asin=10.(2021日照模拟)在ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足:bcosC=(3a-c)cosB.(1)求cosB.(2)若BCBA=4,b=42,求边a,c的值.【解析】(1)在ABC中,由于bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,所以3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,化为:3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.由于在ABC中,sinA0,故cosB=13.(2)由BCBA=4,b=42,可得accosB=4,即ac=12.再由余弦定理可得b2=32=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac3,即a2+c2=40.由求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.综上可得,a=2,c=6或a=6,c=2.【加固训练】(2021天津模拟)已知锐角ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c, tan A=(1)求A的大小.(2)求cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,所以tan A=由于A(0,),所以A=.(2)由于ABC为锐角三角形且B+C=,所以B=-C,cos B+cos C=cos B+cos(-B)=cos B+cos cos B+sin sin B=cos B+sin B=sin(B+).由于B+,所以b2+c2,A90.锐角三角形:若a为最大边,且满足a2b2+c2或A为最大角,且A90.5.(13分)(2022湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1, EC=7,EA=2,ADC=23,BEC=3.(1)求sinCED的值.(2)求BE的长.【解题提示】利用正余弦定理和三角变换公式求解.【解析】设CED=,(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得ECsinEDC=CDsin,于是,sin=CDsin23EC=2327=217,即sinCED=217.(2)由题设知,03,于是由(1)知,cos=1-sin2=1-2149=277,而AEB=23-,所以cosAEB=cos23-=cos23cos+sin23sin=-12cos+32sin=-12277+32217=714.在RtEAB中,cosAEB=EABE=2BE,所以BE=EAcosAEB=2714=47.关闭Word文档返回原板块