2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(八)第八章-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,则a的值为()A.2B.2C.2D.2【解析】选D.由于直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,所以1a=2a4,即2a2=4,解得a=2,经检验都符合题意.2.(2021南平模拟)已知双曲线的标准方程为x22-y2=1,则它的焦点坐标为()A.(1,0)B.(3,0)C.(0,3)D.(0,1)【解析】选B.由于a=2,b=1,所以c=a2+b2=3,且焦点在x轴上,所以它的焦点坐标是(3,0).3.(2021泉州模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【解析】选A.依据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为y=0x-y+1=0(-1,0),由于圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=|-1+0+3|12+12=2,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.4.已知点F1,F2是双曲线C的两个焦点,过点F2的直线交双曲线C的一支于A,B两点,若ABF1为等边三角形,则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.3D.23【解析】选A.ABF1为等边三角形,所以F1F2AB.设ABF1的边长为x,所以2cx=sin60,所以x=4c3.由双曲线的定义知2a=x-12x=x2=2c3,即a=c3,所以双曲线C的离心率为e=ca=cc3=3.5.命题p:4r0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由于圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于5,所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,4rb0,e1,e2分别为圆锥曲线x2a2+y2b2=1和x2a2-y2b2=1的离心率,则lge1+lge2的值()A.大于0且小于1B.大于1C.小于0D.等于0【解析】选C.由题意,得e1=a2-b2a,e2=a2+b2a(ab0),所以e1e2=a4-b4a2=1-b4a41.所以lge1+lge2=lg(e1e2)=lga4-b4a20,b0)的左支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是()A.5B.2C.3D.2【解析】选A.在F1F2P中,点N恰好平分线段PF2,点O恰好平分线段F1F2,所以ONPF1,又ON的斜率为ba,所以tanPF1F2=ba,在F1F2P中,设|PF2|=bt,|PF1|=at,依据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a,所以bt-at=2a,在RtF1F2P中,|PF2|2+|PF1|2=4c2,由消去t,得(a2+b2)4a2(b-a)2=4c2,又c2=a2+b2,所以a2=(b-a)2,即b=2a,双曲线的离心率是ca=a2+b2a=5.8.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.由于双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0,故xA=xB=23p,又|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.【加固训练】(2022衡水模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与椭圆x2m2+y2b2=1(mb0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形确定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,所以e1=a2+b2a2,e2=m2-b2m2,故e1e2=(a2+b2)(m2-b2)a2m2=1(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.9.(2021合肥模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点F,点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=54p,则此双曲线的离心率等于()A.2B.3C.2D.3【解析】选A.由于抛物线y2=2px(p0)的焦点Fp2,0,所以由题意知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(c,0),所以c=p2a,(1)即p2a.所以双曲线方程为x2a2-y2p24-a2=1,由于点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=54p,则M点横坐标xM=5p4-p2=3p4,代入抛物线y2=2px得M3p4,6p2,把M3p4,6p2代入双曲线x2a2-y2p24-a2=1,得9p4-148p2a2+64a4=0,解得p=4a或p=23a,由于p2a,所以p=23a舍去,故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a,即e=2.10.已知P为椭圆x225+y29=1上任意一点,过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线,两垂线交于点C,过P作BC,AC的平行线交BC于点M,交AC于点N,交AB于点D,E,矩形PMCN的面积是S1,三角形PDE的面积是S2,则S1S2=()A.34B.1C.43D.45【解析】选B.由题意知AB的方程为x5+y3=1,设P(x,y)在第一象限,所以D5-5y3,y,所以SADN=12y5y3=5y26,由于Ex,3-35x,所以S四边形ACME=1235x+3(5-x)=310(25-x2),由于P(x,y)在椭圆上,所以x225+y29=1,所以y2=9-9x225,所以56y2=310(25-x2),所以SADN=S四边形ACME,由于矩形PMCN的面积是S1,三角形PDE的面积是S2,所以S2+S四边形ANPE=S1+S四边形ANPE,故S1S2=1.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2021淮南模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为.【解析】由条件知,圆心C(0,1),依据题意得PCAB,kPC=2-11-0=1,从而kAB=-1,故直线AB的方程为y-2=(-1)(x-1),即x+y-3=0.答案:x+y-3=012.若A,B为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,垂直于x轴的直线与椭圆交于点M,N,且kAMkBN=14,则椭圆C的离心率为.【解析】设M(x,y),则N(x,-y),所以kAMkBN=-y2x2-a2=b2x2a2-b2x2-a2=b2a2=14,即a2-c2a2=1-e2=14,解得离心率e=32.答案:3213.(2022安庆模拟)设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为.【解析】由题意可得|AF2|-|AF1|=2a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=8,所以|AF2|+|BF2|=8+|AB|8+2b2a=8+62=11,当且仅当ABx轴时取等号,所以|BF2|+|AF2|的最小值为11.答案:1114.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线x23-y26=1的右焦点重合,过定点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为.【解析】由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p0),由于双曲线x23-y26=1的右焦点坐标为(3,0),所以p2=3,即p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.过定点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=12x,y=x-2,消去y可得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,线段AB的中点到抛物线的准线的距离为x1+x22+p2=x1+x2+p2=16+62=11.答案:1115.(2021淄博模拟)已知M是抛物线:y2=2px(p0)上的动点,过M分别作y轴与4x-3y+5=0的垂线,垂足分别为A,B,若|MA|+|MB|的最小值为12,则p=.【解析】设M(x,y),则|MA|+|MB|=x+|4x-3y+5|5=x+4x-3y+55,由M(x,y)在抛物线:y2=2px(p0)上,得x=y22p(yR),代入上式得|MA|+|MB|=9y2-6py+10p10p=9y-p32-p2+10p10p-p2+10p10p=12(yR),又p0,故p=5.答案:5三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2021福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.(1)假如直线l过抛物线的焦点,求OAOB的值.(2)假如OAOB=-4,证明:直线l必过确定点,并求出该定点.【解析】(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以OAOB=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以OAOB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直线l过定点(2,0).所以若OAOB=-4,则直线l必过确定点(2,0).17.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程.(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程.(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围.【解析】(1)半径r=|0-0-4|1+3=2,故圆O的方程为x2+y2=4.(2)由于圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数,等于2,设MN的方程为y=2x+b,即2x-y+b=0.由弦长公式可得,圆心O到直线MN的距离等于r2-MN22=1.由点到直线的距离公式可得1=|0-0+b|5,b=5,故MN的方程为2x-y5=0.(3)圆O与x轴相交于A(-2,0),B(2,0)两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,所以|PA|PB|=|PO|2,设点P(x,y),则有(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,两边平方,化简可得x2=y2+2.由点P在圆内可得x2+y24,故有0y2b0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S,T两点,与抛物线交于C,D两点,且|CD|ST|=22.(1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于两点A,B,设P为椭圆E上一点,且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点),当|PA-PB|0,k212,所以x1x2=8k2-21+2k2,x1+x2=8k21+2k2.由于|PA-PB|253,所以1+k2|x1-x2|253,所以(1+k2)(8k2)2(1+2k2)2-48k2-21+2k20,所以k214,所以14k212.由于满足OA+OB=tOP,所以(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),所以x=x1+x2t=8k2t(1+2k2),y=y1+y2t=-4kt(1+2k2),由于点P在椭圆上,所以8k2t(1+2k2)2+2-4kt(1+2k2)2=2,所以16k2=t2(1+2k2),所以t2=16k21+2k2=8-81+2k2,由于14k212,所以-2t-263或263t2,所以实数t的取值范围为-2t-263或263tb0)的离心率为12,右焦点为F,右顶点A在圆F:(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请推断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得ca=12,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k0)满足条件,由y=k(x-2),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=16k24k2+3,可得中点P8k24k2+3,-6k4k2+3,由点P在圆F上可得8k24k2+3-12+-6k4k2+32=1,化简整理得k2=0,又由于k0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OPAB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得x124+y123=1.又由于直线l的斜率不为0,所以x124,所以|OB|2=x12+y12=x12+31-x124=3+x1240).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围.(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,推断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).由于抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k14,解得k0,所以0kb0)的离心率为32,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切,A,B是椭圆的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,作GHx轴于点H,延长HG到点Q使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.【解析】(1)由题意可得e=ca=32.由于以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切,所以|0+0+2|12+12=b,解得b=1.由a2=b2+c2,可得a=2.所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)直线QN与以AB为直径的圆O相切,证明如下:由(1)可知A(-2,0),B(2,0),直线l的方程为x=2.设G(x0,y0)(y00),于是H(x0,0),Q(x0,2y0),且有x024+y02=1,即4y02=4-x02.连接BQ,设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ,kBQ,由于kAQkBQ=2y0x0+22y0x0-2=4y02x02-4=4-x02x02-4=-1,即AQBQ,所以点Q在以AB为直径的圆上.由于直线AQ的方程为y=2y0x0+2(x+2).由y=2y0x0+2(x+2),x=2,解得x=2,y=8y0x0+2,即M2,8y0x0+2,所以N2,4y0x0+2.所以直线QN的斜率为kQN=4y0x0+2-2y02-x0=-2x0y04-x02=-2x0y04y02=-x02y0,所以kOQkQN=2y0x0-x02y0=-1,于是直线OQ与直线QN垂直,所以直线QN与以AB为直径的圆O相切.21.(14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,离心率为22,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)设经过点M(0,2)作直线AB交椭圆C于A,B两点,求AOB面积的最大值.(3)设椭圆的上顶点为N,是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为PQN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设F(c,0),则ca=22,知a=2c.过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c,代入椭圆方程,有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=22b.于是2b=2,解得b=1.又a2-c2=b2,从而a=2,c=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可设直线AB的方程为y=kx+2.由y=kx+2,x22+y2=1,消去y并整理,得(2k2+1)x2+8kx+6=0,由=(8k)2-24(2k2+1)0,得k232.由根与系数的关系,得x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1.由于点O到直线AB的距离为d=21+k2,|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2,所以SAOB=12|AB|d=(x1+x2)2-4x1x2=8(2k2-3)(2k2+1)2.设t=2k2-3,由k232,知t0.于是SAOB=8t(t+4)2=8t+16t+8.由t+16t8,得SAOB22,当且仅当t=4,即k2=72时等号成立.所以AOB面积的最大值为22.(3)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F为PQN的垂心.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由于N(0,1),F(1,0),所以kNF=-1.由NFPQ,知kPQ=1.设直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,x2+2y2=2,得3x2+4mx+2m2-2=0.由0,得m23,且x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23.由题意,有NPFQ=0.由于NP=(x1,y1-1),FQ=(x2-1,y2),所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,于是22m2-23-43m(m-1)+m2-m=0,解得m=-43或m=1.经检验,当m=1时,PQN不存在,故舍去m=1. 当m=-43时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x-43.关闭Word文档返回原板块