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高2021级第四期4月阶段性测试数学试题（文）
满分：150分 时间：120分钟
一．选择题：（共10个小题，每小题5分，共50分）
1、已知命题 为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、函数上的最大值为（ ）
A、－2 B、0 C、2 D、4
3、给出命题p: 直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0相互平行的充要条件是；
命题q: 若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β。下列结论中正确的是（ ）
A、“p∧q”为真命题 B、“p∨q”为假命题
C、“p∨﹁q”为假命题 D、“p∧﹁q”为真命题
4、已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点之间的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、曲线处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A、 B、2e2 C、e2 D、
6、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为
A、 B、 C、 D、
7、函数的单调减区间为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、设函数在区间[1,3]上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球，其次次为黑球的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知f(x)为定义在R上的可导函数，且恒成立，则（ ）
A、 B、
C、 D、
二．填空题：（共5个小题，每小题5分，共25分）
11、已知 的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 。
12、张先生订了一份《成都商报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率为 。
13、抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a,b，则直线的概率为 。
14、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为 。
15、给出下列结论：
①设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则α⊥β是a⊥b的必要不充分条件。
②在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为
③函数
④函数上有最小值，则实数a的取值范围是
其中正确结论的序号为 。
三、解答题
16、已知函数处有微小值－1
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求上的最值。
17、在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会打算在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参与颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有6人。
(1)把在前排就座的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f，现从中随机抽取2人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
(2)抽奖活动的规章是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x,y，并按如图所示的程序框图执行. 若电脑显示“中奖"，则该代表中奖；若电脑显示“感谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．
18、如图l，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，F、G分别为AD,BC的中点，AB=2，
∠DAB=600．沿对角线BD将△ABD折起，使得AC= ，如图2．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求三棱锥B—EFG的体积．
19、已知抛物线W：y=ax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线l1,l2.
（1）求抛物线W的方程及其准线方程；
（2）设直线l1,l2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
20、已知点M是椭圆C：上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，｜F1F2｜=4，离心率。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设N(0,2)，过点作直线l，交椭圆C于异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值。
21、已知函数 e为自然对数的底数
（1）若a>0，试推断f(x)的单调性；
（2）若的值；
（3）若的取值范围。
高2021级第四期4月阶段性测试数学试题参考答案（文）
一、选择题
1－5 DCDBD 6-10 CADBA
二、填空题
11、 12、 13、 14、5 15、②④
三、计算题
16、解： （1）
（6分）
（2）由（1）知
令
当的变化状况如下表：
由表中数据知，函数时，取得最大值2；在 （6分）
17、解：（1）由题意得，从高二代表队6人中随机抽取2人的全部基本大事有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)，共15种，
设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为大事M，则大事M的基本大事有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)，共9种，所以 （6分）
（2）由已知在如图所示的正方形OABC内，由 得到的区域如图中阴影部分所示。
所以阴影部分的面积为
设“该代表中奖”为大事N，则 （6分）
18、解：（1）在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝600，∴△ABD，△CBD均为等边三角形.
∵E为BD的中点， ∴AE⊥BD，EC⊥BD.
又AB＝2，∴AE＝CE＝，又AC＝， ∴AE2+CE2=AC2, ∴∠AEC=900，即AE⊥EC.
∵BD∩CE＝E， AE⊥平面BCD. 又AE 平面ABD，平面ABD⊥平面BCD.（6分）
（2）由（1）知AE⊥平面BCD.
∵F为AD的中点，∴点F到底面BCD的距离是AE的一半.
又△BCD为等边三角形，
19、解：（1）由于点A(2,1)在抛物线
故所求抛物线W的方程为 （2分）
（2）不妨设直线AB的方程为
所以点B的坐标为
故同理可得点C的坐标为 （4分）
线段BC的中点坐标为 因此以BC为直径的圆与准线 相切，
所以
此时，点B的坐标为 （4分）
故直线BC的斜率为
所以，直线BC的方程为 （2分）
20、解：（1） （4分）
（2）当直线
（2分）
设
从而 （5分）
当直线l的斜率不存在时，可取
综上，恒有 （2分）
21、解：（1）
上是单调递增函数 （2）
（2）由（1）可知，
①若上恒成立，此时上为增函数，
②若上恒成立，此时上为减函数，
③若
综上所述， （6分）
（3）由
令
则
. （6分）
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