2020-2021学年北师大版高中数学必修一单元质量评估(三).docx

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单元质量评估 (三)
第三章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.a3aa的分数指数幂表示为(　　)
A.a32　　　　B.a3　　　　C.a34　　　　D.都不对
【解析】选C.a3aa=a·a·a121312=a34,故选C.
2.下列函数是幂函数的是(　　)
A.y=2x2 B.y=x3+x
C.y=3x D.y=x12
【解析】选D.结合幂函数的形式：y=xα可知,D选项正确.
3.若log513·log36·log6x=2,则x等于(　　)
A.9 B.19 C.25 D.125
【解析】选D.由换底公式,得lg13lg5·lg6lg3·lgxlg6=2,
所以-lgxlg5=2.
所以lgx=-2lg5=lg125.
所以x=125.
4.(2021·浙江高考)已知x,y为正实数,则(　　)
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy
C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy
【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答.
【解析】选D.选项A,2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故A错误;选项B,2lgx·2lgy=2lgx+lgy,故B错误;选项C,2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故C错误.
5.函数y=loga(|x|+1)(a>1)的大致图像是(　　)

【解析】选B.由于f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,又f(0)=loga1=0,结合对数函数的增长趋势可知选B.
6.下列各函数中,值域为(0,+∞)的是(　　)
A.y=2-x2 B.y=1-2x
C.y=x2+x+1 D.y=31x+1
【解析】选A.A,y=2-x2=22x的值域为(0,+∞).
B,由于1-2x≥0,所以2x≤1,x≤0,
y=1-2x的定义域是(-∞,0],
所以0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,
所以y=1-2x的值域是[0,1).
C,y=x2+x+1=x+122+34的值域是34,+∞,
D,由于1x+1∈(-∞,0)∪(0,+∞),
所以y=3 1x+1的值域是(0,1)∪(1,+∞).
【误区警示】解答本题对于选项D简洁忽视指数1x+1≠0,而误认为函数y=31x+1的值域是(0,+∞).
【变式训练】已知函数f(x)=2log12x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是
(　　)
A.22,2 B.[-1,1]
C.12,2 D.-∞,22∪[2,+∞)
【解析】选A.函数f(x)=2log 12x在(0,+∞)为减函数,则-1≤2log 12x≤1,可得-12≤log 12x≤12,解得22≤x≤2.故选A.
7.(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
【解题指南】将a,b,c利用对数性质进行化简,分别出1后,再进行比较大小即可.
【解析】选D.由题意知：a=log36=1+log32=1+1log23,
b=log510=1+log52=1+1log25,
c=log714=1+log72=1+1log27,
由于log23<log25<log27,所以a>b>c,故选D.
【变式训练】假如log12x<log12y<0,那么(　　)
A.y<x<1 B.x<y<1
C.1<x<y D.1<y<x
【解析】选D.由于y=log12x为(0,+∞)上的减函数,所以x>y>1.故选D.
8.设x>y>1,0<a<1,则下列关系正确的是(　　)
A.x-a>y-a B.ax<ay
C.ax<ay D.logax>logay
【解析】选C.由于0<a<1,所以y=ax在R上是减函数,
又x>y>1,所以ay>ax.
9.(2022·太原高一检测)函数f(x)=若af(-a)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】选A.①若a>0,则-a<0,
由a>0得0<a<1.
②若a<0,则-a>0,
由a>0得-1<a<0,
综上可知-1<a<0或0<a<1.
10.(2022·潍坊高一检测)如图所示的是某池塘中的浮萍集中的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y=at,有以下叙述：

①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过30m2;
③浮萍从4m2集中到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等;
⑤若浮萍集中到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是(　　)
A.①② B.①②③④
C.②③④⑤ D.①②⑤
【解析】选D.由于图像经过点(1,2),所以2=a1,即a=2.
①正确.所以y=2t.
当t=5时,y=25=32>30,故②正确.
令y=4,得t=2.即第2个月浮萍集中的面积为4m2.
再过1.5个月,即t=3.5时,y=23.5=2 7272=82m2,故③错误.
前几个月浮萍的面积分别为2m2,4m2,8m2,16m2,明显浮萍每个月增加的面积不相等,故④错误.
若浮萍集中到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,即2 t1=2,2 t2=3,2 t3=6,
则t1=log22,t2=log23,t3=log26,
又log26=log2(2×3)=log22+log23,
所以t3=t1+t2,故⑤成立.
综上,①②⑤正确.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.(2022·济源高一检测)化简：2log214-827 -23+lg1100+(2-1)lg1=　　　　.
【解析】原式=14-23-2-2+(2-1)0
=14-94-2+1=-3.
答案：-3
【变式训练】(2021·西安高一检测)设f(x)=lgx,x>0,10x,x≤0,则f(f(-2))=　　　　.
【解析】由于x=-2<0,
所以f(-2)=10-2=1100>0,
所以f(10-2)=lg10-2=-2,
即f(f(-2))=-2.
答案：-2
12.函数f(x) =a3x-2+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点　　　　　.
【解析】由3x-2=0得x=23,故函数f(x)=a3x-2+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点23,3.
答案：23,3
【变式训练】函数f(x)=ax2+2x-3+m(a>1)恒过点(1,10),则m=　　　　.
【解析】由于f(x)=ax2+2x-3+m恒过(1,10),
所以10=a0+m,
所以m=9.
答案：9
13.(2022·浏阳高一检测)函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是　　　　　.
【解析】由题意得x-4≥0,lgx-1≠0,x>0,解得x≥4,x≠10,所以x≥4且x≠10.
所以函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是[4,10)∪(10,+∞).
答案：[4,10)∪(10,+∞)
【变式训练】(2022·温州高一检测)函数y=ax-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是(　　)
A.a>0 B.a>1 C.0<a<1 D.a≠1
【解析】选C.由ax-1≥0得ax≥1,又知此函数的定义域为(-∞,0],即当x≤0时,ax≥1恒成立,所以0<a<1.
14.(2021·上海高考)方程93x-1+1=3x的实数解为　　　　　.
【解析】93x-1+1=3x⇒93x-1=3x-1
⇒3x-1=3⇒3x=3+1
⇒3x=4⇒x=log34.
答案：log34
15.(2022·德州高一检测)对于结论：①函数y=ax+2(x∈R)的图像可以由函数y=ax(a>0且a≠1)的图像平移得到.
②函数y=2x与函数y=log2x的图像关于y轴对称.
③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}.
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中正确的结论是　　　　.(把你认为正确结论的序号填上)
【解析】由图像的平移可知①正确,②不正确,两函数的图像关于y=x对称,③不正确,当x=-1时,x2-2<0;④正确,令f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
则f(-x)=-f(x).
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2022·安庆高一检测)(1)计算：2790.5+0.1-2+21027-23-3π0+373×2-4.
(2)设4a=5b=100,求21a+2b的值.
【解析】(1)原式=25912+[(10)-1]-2+6427-23-3+373×16=53+100+916-3+3748=100.
(2)由于4a=100,所以a=log4100.
同理可得,b=log5100,
则1a=1log4100=log1004,1b=1log5100=log1005,
所以1a+2b=log1004+2log1005
=log100(4×52)=log100100=1.
所以21a+2b=2.
17.(12分)已知函数y=(n∈Z)的图像与两坐标轴都无公共点,且其图像关于y轴对称,求n的值,并画出函数的图像.
【解析】由于图像与y轴无公共点,所以n2-2n-3≤0,又图像关于y轴对称,则n2-2n-3为偶数,由n2-2n-3≤0得,-1≤n≤3,又n∈Z.所以n=0,±1,2,3,
当n=0或n=2时,y=x-3为奇函数,其图像不关于y轴对称,不适合题意.
当n=-1或n=3时,有y=x0,其图像如图A.

当n=1时,y=x-4,其图像如图B.
所以n的取值集合为{-1,1,3}.
【误区警示】本题在求解过程中,常因考虑不全导致漏解或增解.
18.(12分)(2022·三明高一检测)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,争辩中发觉V与log3Q100成正比,且当Q=900时,V=1.
(1)求出V关于Q的函数解析式.
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.
【解析】(1)设V=k·log3Q100,
由于当Q=900时,V=1,
所以1=k·log3900100,k=12,
所以V关于Q的函数解析式为V=12log3Q100.
(2)令V=1.5,则1.5=12log3Q100,
所以Q=2700.
答：一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.
19.(12分)(2022·襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)的图像.
(3)写出函数f(x)的单调区间及值域.
【解析】(1)由于y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,
由于x<0时,f(x)=1+2x,
所以x>0时,
f(x)=-f(-x)=-(1+2-x)=-1-12x,
所以f(x)=1+2x,x<0,0,x=0,-1-12x,x>0.
(2)函数f(x)的图像为

(3)依据f(x)的图像知：
f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);
值域为{y|1<y<2或-2<y<-1或y=0}.
20.(13分)设f(x)=2-x,x∈(-∞,1],log3x3·log3x9,x∈(1,+∞).
(1)求flog232的值.
(2)求f(x)的最小值.
【解题指南】(1)要留意log232与1的大小关系和alogaN=N的应用.
(2)要留意分段函数要在x∈(-∞,1]和x∈(1,+∞)时分别求最小值并取其中最小的为函数的最小值.当x∈(1,+∞)时,求最小值要留意利用换元法先求t=log3x的范围,再求f(x)的最小值.
【解析】(1)由于log232<log22=1,
所以flog232=2-log232=2log223=23.
(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=12x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=12.
当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),
令t=log3x,则t∈(0,+∞),
f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=t-322-14,
所以f(x)的最小值为g32=-14.
综上知,f(x)的最小值为-14.
【变式训练】(2022·雅安高一检测)已知x∈[0,log23·log34],试求函数y=14x-12x+2的最大值与最小值.
【解析】由x∈[0,log23·log34],得x∈[0,2].
由于y=12x2-12x+2,
令12x=t,则y=t2-t+2.
又当x∈[0,2]时,14≤t≤1,
由二次函数的性质可知,
当t=12时,y取得最小值74,
当t=1时,y取得最大值2,
所以y=14x-12x+2的最大值为2,最小值为74.
21.(14分)已知函数f(x)=lg(ax-bx),a>1>b>0.
(1)求f(x)的定义域.
(2)在函数f(x)的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴?
(3)当a,b满足什么条件时,fx在1,+∞上恒取正值?
【解析】(1)由ax-bx>0得abx>1=ab0,由于ab>1,所以x>0,
即fx的定义域为0,+∞.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,f(x1)=lg(ax1-bx1),f(x2)=lg(ax2-bx2),
(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1),
由于a>1>b>0,所以y=ax在R上为增函数,y=bx在R上为减函数,
所以ax1-ax2<0,bx2-bx1<0,
所以(ax1-bx1)-(ax2-bx2)<0,
即ax1-bx1<ax2-bx2,
又由于y=lgx在(0,+∞)上为增函数,
所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.所以任取x1≠x2则必有y1≠y2,故函数fx的图像上不存在不同的两点使过这两点的直线平行于x轴.
(3)由于fx是增函数,
所以当x∈1,+∞时,fx>f1,这样只需f1=lga-b≥0,即当a-b≥1时,fx在1,+∞上恒取正值.
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