资源描述
综合测试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2022·新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1] B.[-1,2)
C.[-1,1] D.[1,2)
[答案] A
[解析] A={x|x≤-1或x≥3},所以A∩B=[-2,-1],所以选A.
2.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0,2]
C.(1,2) D.(1,2]
[答案] D
[解析] 由于A={x|0<log4x<1}={x|1<x<4},
B={x|x≤2}.
所以A∩B={x|1<x<4}∩{x|x≤2}={x|1<x≤2}.
3.(2021·广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+ex B.y=x+
C.y=2x+ D.y=
[答案] A
[解析] 令f(x)=x+ex,则f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1即f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以 y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数,而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数,故选A.
4.设f(x)=,则f[f()]=( )
A. B.
C.- D.
[答案] B
[解析] 由于||<1,所以f()=|-1|-2=-,而|-|>1,所以f(-)===,所以f[f()]=,选B.
5.log43、log34、的大小挨次是( )
A.log34<log43<
B.log34>log43>
C.log34>>log43
D.>log34>log43
[答案] B
[解析] 将各式与0,1比较.∵log34>log33=1,
log43<log44=1,又0<<1,>1,
∴<0.
故有<log43<log34.所以选B.
6.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5,最小值2,则a,b的值为( )
A.a=1,b=0
B.a=1,b=0或a=-1,b=3
C.a=-1,b=3
D.以上答案均不正确
[答案] B
[解析] 对称轴x=1,当a>0时在[2,3]上递增,
则解得
当a<0时,在[2,3]上递减,
则解得
故选B.
7.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )
A. B.
C.2 D.4
[答案] B
[解析] ∵当a>1或0<a<1时,ax与loga(x+1)的单调性全都,
∴f(x)min+f(x)max=a,
即1+loga1+a+loga(1+1)=a,∴a=.
8.(2021·安徽高考)函数f(x)=的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b<0,c<0
[答案] C
[解析] 由f(x)=及图像可知,x≠-c,-c>0,则c<0;当x=0时,f(0)=>0,所以b>0;当y=0,ax+b=0,所以x=->0,所以a<0.故a<0,b>0,c<0,选C.
9.已知函数f(x)满足:x≥4,f(x)=x;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f(2+log23)=f(3+log23)=3+log23
=3·log23=×=,选A.
10.函数f(x)=(x-1)ln|x|-1的零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析] f(x)=(x-1)ln|x|-1的零点就是方程(x-1)ln|x|-1=0的实数根,而该方程等价于方程ln|x|=,因此函数的零点也就是函数g(x)=ln|x|的图像与h(x)=的图像的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略),可知两个函数图像有三个交点,所以函数有三个零点.
11.设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
[答案] C
[解析] 利用指数、对数函数性质.考查简洁的指数、对数不等式.
由a2x-2ax-2>1得ax>3,∴x<loga3.
12.有浓度为90%的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)( )
A.19 B.20
C.21 D.22
[答案] C
[解析] 操作次数为n时的浓度为()n+1,由()n+1<10%,得n+1>=≈21.8,∴n≥21.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知loga>0,若ax2+2x-4≤,则实数x的取值范围为________.
[答案] (-∞,-3]∪[1,+∞)
[解析] 由loga>0得0<a<1.
由a x2+2x-4≤得a x2+2x-4≤a-1,
∴x2+2x-4≥-1,解得x≤-3或x≥1.
14.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围________ .
[答案] 1<a<
[解析] y=
作出图像,如图所示.
此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,要使y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,∴1<a<.
15.若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是________.
[答案] [0,+∞)
[解析] 要使函数y=的定义域为R,
则对于任意实数x,都有m·3x-1+1≠0,
即m≠-x-1.而x-1>0,∴m≥0.
故所求m的取值范围是m≥0,即m∈[0,+∞).
16.已知实数a≠0,函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
[答案] -
[解析] 首先争辩1-a,1+a与1的关系.
当a<0时,1-a>1,1+a<1,
所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;
f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
由于f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2.
解得a=-.
当a>0时,1-a<1,1+a>1,
所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a.
f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1,
由于f(1-a)=f(1+a)
所以2-a=-3a-1,所以a=-(舍去)
综上,满足条件的a=-.
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的值.
(2)若A∪B=B,求a的值.
[分析] A∩B=B⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B.
[解析] A={-4,0}.
(1)∵A∩B=B,∴B⊆A.
①若0∈B,则a2-1=0,a=±1.
当a=1时,B=A;
当a=-1时,B={0},则B⊆A.
②若-4∈B,则a2-8a+7=0,解得a=7,或a=1.
当a=7时,B={-12,-4},B⃘A.
③若B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,a<-1.
由①②③得a=1,或a≤-1.
(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.
∵A={-4,0},又∵B中至多只有两个元素,
∴A=B.
由(1)知a=1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)= eq log\s\do5(\f(1,2)) [(eq \f(1,2))x-1],
(1)求f(x)的定义域;
(2)争辩函数f(x)的增减性.
[解析] (1)()x-1>0,即x<0,
所以函数f(x)定义域为{x|x<0}.
(2)∵y=()x-1是减函数,f(x)=x是减函数,
∴f(x)=[()x-1]在(-∞,0)上是增函数.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=,其中a∈R.
(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数.
[解析] f(x)===a-,
设x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)=-=.
(1)当a=1时,f(x)=1-,设0≤x1<x2≤3,
则f(x1)-f(x2)=,
又x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[0,3]上是增函数,
∴f(x)max=f(3)=1-=eq \f(1,2),
f(x)min=f(0)=1-eq \f(2,1)=-1.
(2)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0.
若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x1)-f(x2)<0,
而f(x1)-f(x2)=,
∴当a+1<0,即a<-1时,有f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴当a<-1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数.
20.(本小题满分12分)(1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1-a2)>0,求实数a的取值范围.
(2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范围.
[解析] (1)∵f(1-a)+f(1-a2)>0,
∴f(1-a)>-f(1-a2).
∵f(x)是奇函数,
∴f(1-a)>f(a2-1).
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数,
∴解得1<a<.
(2)由于函数g(x)在[-2,2]上是偶函数,
则由g(1-m)<g(m)可得g(|1-m|)<g(|m|).
又当x≥0时,g(x)为减函数,得到
即
解之得-1≤m<.
21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件:
①f(x)在D上单调递增或单调递减函数;
②存在闭区间[a,b]∈D(其中a<b),使得当x∈[a,b]时,f(x)的取值集合也是[a,b].那么,我们称函数y=f(x)(x∈D)是闭函数.
(1)推断f(x)=-x3是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由.
(2)若f(x)=k+是闭函数,求实数k的取值范围.
(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出增函数还是减函数即可)
[解析] (1)f(x)=-x3在R上是减函数,满足①;设存在区间[a,b],f(x)的取值集合也是[a,b],则,解得a=-1,b=1,
所以存在区间[-1,1]满足②,
所以f(x)=-x3(x∈R)是闭函数.
(2)f(x)=k+是在[-2,+∞)上的增函数,
由题意知,f(x)=k+eq \r(x+2)是闭函数,存在区间[a,b]满足②,
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k+\r(a+2)=a,k+\r(b+2)=b))
即a,b是方程k+eq \r(x+2)=x的两根,化简得,a,b是方程x2-(2k+1)x+k2-2=0的两根,且a≥k,b>k.
令f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2,得
解得-eq \f(9,4)<k≤-2,
所以实数k的取值范围为(-eq \f(9,4),-2].
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2-mx-m.)
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,求实数m的取值范围.
[解析] (1)m=1时,f(x)=(x2-x-1),
由x2-x-1>0可得:x>或x<,
∴函数f(x)的定义域为(,+∞)∪(-∞,).
(2)由于函数f(x)的值域为R,所以z(x)=x2-mx-m能取遍全部的正数从而Δ=m2+4m≥0,解得:m≥0或m≤-4.
即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤-4.
(3)由题意可知:
⇒2-2≤m<2.
即所求实数m的取值范围为[2-2,2).
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