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(北师大版)数学必修1同步测试:综合测试题2.docx

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资源描述
综合测试题(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2022·新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=(  ) A.[-2,-1]     B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) [答案] A [解析] A={x|x≤-1或x≥3},所以A∩B=[-2,-1],所以选A. 2.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=(  ) A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] [答案] D [解析] 由于A={x|0<log4x<1}={x|1<x<4}, B={x|x≤2}. 所以A∩B={x|1<x<4}∩{x|x≤2}={x|1<x≤2}. 3.(2021·广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(  ) A.y=x+ex B.y=x+ C.y=2x+ D.y= [答案] A [解析] 令f(x)=x+ex,则f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1即f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以 y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数,而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数,故选A. 4.设f(x)=,则f[f()]=(  ) A. B. C.- D. [答案] B [解析] 由于||<1,所以f()=|-1|-2=-,而|-|>1,所以f(-)===,所以f[f()]=,选B. 5.log43、log34、的大小挨次是(  ) A.log34<log43< B.log34>log43> C.log34>>log43 D.>log34>log43 [答案] B [解析] 将各式与0,1比较.∵log34>log33=1, log43<log44=1,又0<<1,>1, ∴<0. 故有<log43<log34.所以选B. 6.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5,最小值2,则a,b的值为(  ) A.a=1,b=0 B.a=1,b=0或a=-1,b=3 C.a=-1,b=3 D.以上答案均不正确 [答案] B [解析] 对称轴x=1,当a>0时在[2,3]上递增, 则解得 当a<0时,在[2,3]上递减, 则解得 故选B. 7.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为(  ) A. B. C.2 D.4 [答案] B [解析] ∵当a>1或0<a<1时,ax与loga(x+1)的单调性全都, ∴f(x)min+f(x)max=a, 即1+loga1+a+loga(1+1)=a,∴a=. 8.(2021·安徽高考)函数f(x)=的图像如图所示,则下列结论成立的是(  ) A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 [答案] C [解析] 由f(x)=及图像可知,x≠-c,-c>0,则c<0;当x=0时,f(0)=>0,所以b>0;当y=0,ax+b=0,所以x=->0,所以a<0.故a<0,b>0,c<0,选C. 9.已知函数f(x)满足:x≥4,f(x)=x;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=(  ) A. B. C. D. [答案] A [解析] f(2+log23)=f(3+log23)=3+log23 =3·log23=×=,选A. 10.函数f(x)=(x-1)ln|x|-1的零点的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] D [解析] f(x)=(x-1)ln|x|-1的零点就是方程(x-1)ln|x|-1=0的实数根,而该方程等价于方程ln|x|=,因此函数的零点也就是函数g(x)=ln|x|的图像与h(x)=的图像的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略),可知两个函数图像有三个交点,所以函数有三个零点. 11.设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是(  ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) [答案] C [解析] 利用指数、对数函数性质.考查简洁的指数、对数不等式. 由a2x-2ax-2>1得ax>3,∴x<loga3. 12.有浓度为90%的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)(  ) A.19 B.20 C.21 D.22 [答案] C [解析] 操作次数为n时的浓度为()n+1,由()n+1<10%,得n+1>=≈21.8,∴n≥21. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知loga>0,若ax2+2x-4≤,则实数x的取值范围为________. [答案] (-∞,-3]∪[1,+∞) [解析] 由loga>0得0<a<1. 由a x2+2x-4≤得a x2+2x-4≤a-1, ∴x2+2x-4≥-1,解得x≤-3或x≥1. 14.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围________ . [答案] 1<a< [解析] y= 作出图像,如图所示. 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,要使y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,∴1<a<. 15.若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是________. [答案] [0,+∞) [解析] 要使函数y=的定义域为R, 则对于任意实数x,都有m·3x-1+1≠0, 即m≠-x-1.而x-1>0,∴m≥0. 故所求m的取值范围是m≥0,即m∈[0,+∞). 16.已知实数a≠0,函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________. [答案] - [解析] 首先争辩1-a,1+a与1的关系. 当a<0时,1-a>1,1+a<1, 所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 由于f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2. 解得a=-. 当a>0时,1-a<1,1+a>1, 所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a. f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1, 由于f(1-a)=f(1+a) 所以2-a=-3a-1,所以a=-(舍去) 综上,满足条件的a=-. 三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若A∩B=B,求a的值. (2)若A∪B=B,求a的值. [分析] A∩B=B⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B. [解析] A={-4,0}. (1)∵A∩B=B,∴B⊆A. ①若0∈B,则a2-1=0,a=±1. 当a=1时,B=A; 当a=-1时,B={0},则B⊆A. ②若-4∈B,则a2-8a+7=0,解得a=7,或a=1. 当a=7时,B={-12,-4},B⃘A. ③若B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,a<-1. 由①②③得a=1,或a≤-1. (2)∵A∪B=B,∴A⊆B. ∵A={-4,0},又∵B中至多只有两个元素, ∴A=B. 由(1)知a=1. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)= eq log\s\do5(\f(1,2)) [(eq \f(1,2))x-1], (1)求f(x)的定义域; (2)争辩函数f(x)的增减性. [解析] (1)()x-1>0,即x<0, 所以函数f(x)定义域为{x|x<0}. (2)∵y=()x-1是减函数,f(x)=x是减函数, ∴f(x)=[()x-1]在(-∞,0)上是增函数. 19.(本小题满分12分)设函数f(x)=,其中a∈R. (1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值; (2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数. [解析] f(x)===a-, 设x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)=-=. (1)当a=1时,f(x)=1-,设0≤x1<x2≤3, 则f(x1)-f(x2)=, 又x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[0,3]上是增函数, ∴f(x)max=f(3)=1-=eq \f(1,2), f(x)min=f(0)=1-eq \f(2,1)=-1. (2)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0. 若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x1)-f(x2)<0, 而f(x1)-f(x2)=, ∴当a+1<0,即a<-1时,有f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2). ∴当a<-1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数. 20.(本小题满分12分)(1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1-a2)>0,求实数a的取值范围. (2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范围. [解析] (1)∵f(1-a)+f(1-a2)>0, ∴f(1-a)>-f(1-a2). ∵f(x)是奇函数, ∴f(1-a)>f(a2-1). 又∵f(x)在(-1,1)上为减函数, ∴解得1<a<. (2)由于函数g(x)在[-2,2]上是偶函数, 则由g(1-m)<g(m)可得g(|1-m|)<g(|m|). 又当x≥0时,g(x)为减函数,得到 即 解之得-1≤m<. 21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件: ①f(x)在D上单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间[a,b]∈D(其中a<b),使得当x∈[a,b]时,f(x)的取值集合也是[a,b].那么,我们称函数y=f(x)(x∈D)是闭函数. (1)推断f(x)=-x3是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由. (2)若f(x)=k+是闭函数,求实数k的取值范围. (注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出增函数还是减函数即可) [解析] (1)f(x)=-x3在R上是减函数,满足①;设存在区间[a,b],f(x)的取值集合也是[a,b],则,解得a=-1,b=1, 所以存在区间[-1,1]满足②, 所以f(x)=-x3(x∈R)是闭函数. (2)f(x)=k+是在[-2,+∞)上的增函数, 由题意知,f(x)=k+eq \r(x+2)是闭函数,存在区间[a,b]满足②, 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k+\r(a+2)=a,k+\r(b+2)=b)) 即a,b是方程k+eq \r(x+2)=x的两根,化简得,a,b是方程x2-(2k+1)x+k2-2=0的两根,且a≥k,b>k. 令f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2,得 解得-eq \f(9,4)<k≤-2, 所以实数k的取值范围为(-eq \f(9,4),-2]. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2-mx-m.) (1)若m=1,求函数f(x)的定义域; (2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,求实数m的取值范围. [解析] (1)m=1时,f(x)=(x2-x-1), 由x2-x-1>0可得:x>或x<, ∴函数f(x)的定义域为(,+∞)∪(-∞,). (2)由于函数f(x)的值域为R,所以z(x)=x2-mx-m能取遍全部的正数从而Δ=m2+4m≥0,解得:m≥0或m≤-4. 即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤-4. (3)由题意可知: ⇒2-2≤m<2. 即所求实数m的取值范围为[2-2,2).
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