(北师大版)数学必修1同步测试：综合测试题2.docx

综合测试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，－1]　　　　 B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
[答案]　A
[解析]　A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.
2．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)
A．(0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
[答案]　D
[解析]　由于A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，
B＝{x|x≤2}．
所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．
3．(2021·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝x＋ex B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝
[答案]　A
[解析]　令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.
4．设f(x)＝，则f[f()]＝(　　)
A. B.
C．－ D.
[答案]　B
[解析]　由于||<1，所以f()＝|－1|－2＝－，而|－|>1，所以f(－)＝＝＝，所以f[f()]＝，选B.
5．log43、log34、的大小挨次是(　　)
A．log34<log43<
B．log34>log43>
C．log34>>log43
D．>log34>log43
[答案]　B
[解析]　将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，
log43<log44＝1，又0<<1，>1，
∴<0.
故有<log43<log34.所以选B.
6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为(　　)
A．a＝1，b＝0
B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝3
D．以上答案均不正确
[答案]　B
[解析]　对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，
则解得
当a<0时，在[2,3]上递减，
则解得
故选B.
7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
[答案]　B
[解析]　∵当a>1或0<a<1时，ax与loga(x＋1)的单调性全都，
∴f(x)min＋f(x)max＝a，
即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝.
8．(2021·安徽高考)函数f(x)＝的图像如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
[答案]　C
[解析]　由f(x)＝及图像可知，x≠－c，－c>0，则c<0；当x＝0时，f(0)＝>0，所以b>0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.
9．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝3＋log23
＝3·log23＝×＝，选A.
10．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x|＝，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．
11．设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
[答案]　C
[解析]　利用指数、对数函数性质．考查简洁的指数、对数不等式．
由a2x－2ax－2>1得ax>3，∴x<loga3.
12．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)(　　)
A．19 B．20
C．21 D．22
[答案]　C
[解析]　操作次数为n时的浓度为()n＋1，由()n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，∴n≥21.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知loga>0，若ax2＋2x－4≤，则实数x的取值范围为________．
[答案]　(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[解析]　由loga>0得0<a<1.
由a x2＋2x－4≤得a x2＋2x－4≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
14．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围________ .
[答案]　1<a<
[解析]　y＝
作出图像，如图所示．

此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1<a，∴1<a<.
15．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
[答案]　[0，＋∞)
[解析]　要使函数y＝的定义域为R，
则对于任意实数x，都有m·3x－1＋1≠0，
即m≠－x－1.而x－1>0，∴m≥0.
故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)．
16．已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[答案]　－
[解析]　首先争辩1－a,1＋a与1的关系．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
由于f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2.
解得a＝－.
当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，
由于f(1－a)＝f(1＋a)
所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)
综上，满足条件的a＝－.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的值．
(2)若A∪B＝B，求a的值．
[分析]　A∩B＝B⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.
[解析]　A＝{－4,0}．
(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A.
①若0∈B，则a2－1＝0，a＝±1.
当a＝1时，B＝A；
当a＝－1时，B＝{0}，则B⊆A.
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7，或a＝1.
当a＝7时，B＝{－12，－4}，B⃘A.
③若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1.
由①②③得a＝1，或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A⊆B.
∵A＝{－4,0}，又∵B中至多只有两个元素，
∴A＝B.
由(1)知a＝1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq log\s\do5(\f(1,2)) [(eq \f(1,2))x－1]，
(1)求f(x)的定义域；
(2)争辩函数f(x)的增减性．
[解析]　(1)()x－1>0，即x<0，
所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝()x－1是减函数，f(x)＝x是减函数，
∴f(x)＝[()x－1]在(－∞，0)上是增函数．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
[解析]　f(x)＝＝＝a－，
设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1<x2≤3，
则f(x1)－f(x2)＝，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝eq \f(1,2)，
f(x)min＝f(0)＝1－eq \f(2,1)＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)<f(x2)．
∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．
[解析]　(1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0，
∴f(1－a)>－f(1－a2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(1－a)>f(a2－1)．
又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，
∴解得1<a<.
(2)由于函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，
则由g(1－m)<g(m)可得g(|1－m|)<g(|m|)．
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到

即
解之得－1≤m<.
21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]∈D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．
(1)推断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可)
[解析]　(1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋eq \r(x＋2)是闭函数，存在区间[a，b]满足②，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＋\r(a＋2)＝a,k＋\r(b＋2)＝b))
即a，b是方程k＋eq \r(x＋2)＝x的两根，化简得，a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根，且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得

解得－eq \f(9,4)<k≤－2，
所以实数k的取值范围为(－eq \f(9,4)，－2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2－mx－m.)
(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)m＝1时，f(x)＝(x2－x－1)，
由x2－x－1>0可得：x>或x<，
∴函数f(x)的定义域为(，＋∞)∪(－∞，)．
(2)由于函数f(x)的值域为R，所以z(x)＝x2－mx－m能取遍全部的正数从而Δ＝m2＋4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.
即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤－4.
(3)由题意可知：
⇒2－2≤m<2.
即所求实数m的取值范围为[2－2，2)．