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2021届模拟考试1
理科数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（共60分）
一.选择题：(5′×12=60′)
1.已知A=｛x|x≥k｝，B=｛x|<1｝，若AB则实数k的取值范围为（ ）
A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(2,+∞) D.[2,+∞)
2.复数的共轭复数=（ ）
A.2+ B.2- C.1+2 D.1-2
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0,2]时，
f(x)=ex1，则f(2022)+f(-2021)=（ ）
A.1-e B.e-1 C.-1-e D.e+1
4.在锐角三角形ABC中，BC=1， B=2A，则的值为（ ）
A.6 B.4 C.2 D.2
5.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x值为2021，
则输出的值为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.9
6.a=b是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ）
A.5 B.4 C.3 D.1
8.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，给出四个结论：
(1)a2+a8≠a10
(2)Sn=an2+bn(a≠0)
(3)若m,n,p,q∈N+，则am+an=ap+aq的充要条件是m+n=p+q
(4)若S6=S11，则a9=0
其中正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x与双曲线的
一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为
A.+1 B.+1 C.+ D.
10.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b的最小值为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
11.若二项式()6的开放式中的常数项为m，则=（ ）
A. B.- C. D.-
12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f´(x)，a=，b=，
则a与b的大小关系为（ ）
A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题：(5′×4=20′)
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9 — — — — — — —
13.一个类似杨辉三角形的数阵：
则第九行的其次个数为
14.某班班会，预备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名同学发言，要求甲、乙两人中
至少有1人参与，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为
15.已知满足条件的动点(x,y)所在的区域D为始终角三角形区域，
则区域D的面积为
16.已知函数f(x)对一切实数a、b满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛an｝的
通项an=(n∈N+)，则数列{an}的前n项和=
三.解答题: （12′×5+10′=70′）
17.已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+)+sin2(x+)(0<φ<)的图象经过点(,1)
(1)求f(x).
(2)在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC=2，角C为锐角且
f()=，求C边长
18.某同学参与语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成果的概率分别为，
m，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成果的概率为，都未取得优秀成果的概率为，且不同课程是否取得优秀成果相互独立。
(1)求m，n。
(2)设X为该同学取得优秀成果的课程门数，求EX。
19.如图，在底面为菱形ABCD的四棱柱ABCD—A1B1C1D1
中，∠ABC=60°，AA1=AB=2，A1B=A1D=2.
(1)求证：AA1⊥面ABCD。
(2)若点E在A1D上，且=2，求二面角E—AC—D。
20.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过点F1的直线交椭圆
于A、B两点，△AF2B的周长为8.
(1)求椭圆方程。
(2)若椭圆的左、右顶点为C、D，四边形ABCD的
面积为，求直线的方程。
21.已知函数f(x)=alnxax3(a∈R)。
(1)求f(x)的单调区间
(2)设a=-1，求证：当x∈(1,+∞)时，f(x)+2>0
(3)求证：··……<(n∈N+且n≥2)
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.
留意：只能做所选定的题目，假如多做，则按所做的第一个题目计分.
22. (几何证明选讲) 如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的点，AC是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D。
(1)求证：CD是⊙O的切线。
(2)过C点作CM⊥AB，垂足为M，求证：AM·MB=DF·DA。
23. (极坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程为 (为参数)，
以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线c的极坐标方程
(2)若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线被曲线c截得的弦长。
24. (不等式选讲) 已知函数f(x)=|x-a|
(1)若不等式f(x)≤3的解集为[-1,5]，求实数a的值。
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
模拟考试1数学（理）参考答案
一、选择题：(5′×12=60′) CDADA ABAAC CA
二、填空题：(5′×4=20′) 13.66； 14.； 15.1； 16. 4n；
三、解答题：（12′×5+10′=70′）
17.(1)∵f(x)=sin(x+)cos(x+)+sin2(x+)=sin(2x+φ)+
=sin(2x+φ)-cos(2x+φ)+=sin(2x+φ-)+ ………………..3分
∵图象经过点(,1)
∴sin(2·+φ-)+=1即sin(+φ)= ∴cosφ=
∵0<φ< ∴φ= ∴f(x)=sin(2x+)+ …………………………..6分
(2)∵f(-)=sinc+= ∴sinc= ∴cosc= ……………..……….8分
∵S△ABC=absinc=··b·=2 ∴b=6 ……………………………..10分
∴c2=a2+b2-2abcosc=5+36-2··6·=21 ∴c= …………….…….12分
18.(1)设该同学语、数、外取得优秀成果分别为大事A、B、C
∴P(A)= P(B)=m P(C)=n ………………………………………1分
由已知条件可知：P(ABC)= P()=
∴ … …………………………………………4分
又m>n，则m= n= ……………………………………………..……....6分
(2)∵X=0,1,2,3
P(X=0)=
P(X=1)=P(A+B+C)=
P(X=2)=P(AB+AC+BC)=
P(X=3)=
∴x的分布列为
x
0
1
2
3
P
∴EX=0+1+2+3= ……………………………..12分
1
A
z
19.(1)∵A1A=AB=2 A1B=2 ∴A1A⊥AB
又∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=AB=2，
又A1D=2∴A1A⊥AD ………………. 4分
∵AB 面ABCD AD 面ABCD AB∩AD=A
∴A1A⊥面ABCD ………………………6分
(2)∵ABCD为菱形且∠ABC=60° ∴△ABC为正三角形
取BC中点F ∴AF⊥BC ∵AD∥BC ∴AF⊥AD
以A为原点，直线AF、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系
∴A(0,0,0) B(,-1,0) C(,1,0) D(0,2,0) A1(0,0,2)
∵=2 ∴E(0,,) ……………………………………………8分
设平面ACE的法向量为=（x,y,z）
∴ 令y=1得=(-,1,-2) ………………………..10分
又平面ABCD的法向量=(0,0,2)
∴cos<n1,n2>== ∴二面角E—AC—D=30°…………12分
20.(1)∵|AF1|+|AF2|=2a |BF1|+|BF2|=2a
∴|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ∴4a=8 ∴a=2
又∵e== ∴c=1 ∴b2=a2-c2=3
∴椭圆方程为+=1 …………………4分
(2)设直线的方程为x=ky-1
代入椭圆方程并化简得(3k2+4)y2-6ky-9=0
设A(x1,y1)、B(x 2,y2) |y1-y2|=）..…….………8分
∵S△ACBD=·|CD|·|y1-y2|=2|y1-y2|=∴= ∴k=±1 ….. 11分
∴直线的方程为x±y+1=0 .……………….………………………………………..12分
21.(1)f´(x)=
1°若a=0 则f(x)=-3 无单调区间
2°若a>0 则当x∈(0,1)时 f´(x)>0 当x∈(1,+∞)时 f´(x)<0
∴f(x)在(0,1)递增 （1,+∞）递减
3°若a<0 f(x)在(0,1)递减 在(1,+∞)递增 ………………………..5分
(2)∵a=-1 ∴f(x)=-lnx+x-3
由(1)知f(x)在(1,+∞)递增∴f(x)>f(1)=-2 ∴f(x)+2>0 。……………….7分
(3)由(2)知当x∈(1,+∞)时 -lnx+x-1>0 ∴x-1>lnx
∵n≥2 ∴lnn<n-1 ∴0<< ….……….……………… 10分
∴··……<··……= ….……………….. 12分
22.(1)连OC ∵OA=OC ∴∠OCA=∠OAC ∵∠FAC=∠OAC
∴∠OCA=∠FAC ∴OC∥AD ∵AD⊥CD ∴OC⊥CD
∴CD是圆O的切线 ……………………………………………5分
(2)∵AC平分∠PAB CM⊥AB CD⊥AF ∴CD=CM
又依据切割线定理有CD2=DF·DA
∵△ACB为直角三角形且CM⊥AB ∴CM2=AM·MB ∴AM·MB=DF·DA ……10分
23.(1)∵曲线c的参数方程为 (α为参数)
∴曲线c的一般方程为(x-2)2+(y-1)2=5
将 代入并化简得：=4cosθ+2sinθ ………….………………………5分
即曲线c的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ
(2)∵的直角坐标方程为x+y-1=0
∴圆心c到直线的距离为d==∴弦长为2=2 .……………… 10分
24.(1)∵|x-a|≤3 ∴a-3≤x≤a+3
∵f(x)≤3的解集为[-1,5] ∴ ∴a=2 …………………5分
(2)∵f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5
又f(x)+f(x+5)≥m恒成立 ∴m≤5 ………………………………………..10分
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