2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破：高考中函数图象与性质的应用问题.docx

高考专题突破高考中函数图象与性质的应用问题
考点自测
1．已知a＝()，b＝2，c＝()，则下列关系式中正确的是(　　)
A．c<a<b B．b<a<c
C．a<c<b D．a<b<c
答案　B
解析　把b化简为b＝()，而函数y＝()x在R上为减函数，>>，所以()<()<()，即b<a<c.
2．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　令f(x)＝0，解得x＝1；令f(x)＝1，解得x＝或3.由于函数f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b－a的最小值为1－＝.
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
4．已知y＝f(x)的图象如图，则y＝f(1－x)的图象为下列四图中的(　　)

答案　A
解析　将y＝f(1－x)变形为y＝f[－(x－1)]
①作y＝f(－x)图象，将y＝f(x)关于y轴对称即可；
②将f(－x)的图象沿x轴正方向平移1个单位，
得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象．
5．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是______．
答案　(0,1]
解析　函数y＝f(x)－k有两个零点，即函数y＝f(x)与y＝k有两个交点，作出函数y＝f(x)的大致图象如图，可知当0<k≤1时满足，即实数k的取值范围是(0,1]．

题型一　函数性质及应用
例1　已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(－3)＝2，且对任意的实数a∈R有f(－a)＋f(a)＝0恒成立．
(1)试推断f(x)在R上的单调性，并说明理由；
(2)解关于x的不等式f()<2.
解　(1)函数是R上的减函数．理由如下：
∵a∈R有f(－a)＋f(a)＝0恒成立．
∴函数f(x)是奇函数．
又f(－3)＝2，∴f(3)＝－f(－3)＝－2，
∵－3<3，而f(－3)>f(3)且f(x)在R上单调．
所以函数f(x)是R上的减函数．
(2)∵f()<2，
又f(－3)＝2，∴f()<f(－3)，
又由(1)知函数f(x)在R上单调递减，
∴>－3，
整理得：>0，解得x>0或x<－1.
所以原不等式的解集为{x|x>0或x<－1}．
思维升华　解决和函数有关的不等式的问题，假如已知函数的单调性，可化为f(x1)<f(x2)的形式．“脱去”f符号后得到x1，x2的大小，解题时可结合函数的奇偶性机敏变换．
　(1)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x，则f(log210)＝________.
(2)设函数f(x)在(0,2)上是增函数，函数f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是________．
答案　(1)　(2)f()<f(1)<f()
解析　(1)由f(x＋1)＝－f(x)，
知函数f(x)的周期T＝2，
∴f(log210)＝f(log210－4)＝f(log2)＝＝.
(2)由于函数f(x＋2)是偶函数，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
所以f＝f，f＝f.
又由于f(x)在(0,2)上是增函数，且<1<.
所以f<f(1)<f，
即f<f(1)<f.
题型二　函数图象及应用
例2　对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
解　由定义可知，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．
由图可知，当0<m<时，
f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.
不妨设x1<x2<x3，
易知x2>0，
且x2＋x3＝1，
∴x2x3<.
令解得x＝或x＝(舍去)．
∴<x1<0，∴<x1x2x3<0.
思维升华　函数图象的应用步骤：

　已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．
答案　(10,12)
解析　画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0<d<1)，如图所示，直观上可知<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，从而得ab＝1，
则10<abc<12.

题型三　函数的值域与不等式恒成立问题
例3　定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，对于任意的θ∈，均有f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，试求实数m的取值范围．
解　由于f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)在(－∞，0]上也是增函数，所以f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，
∵f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，
∴f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)，
于是cos 2θ－3>2mcos θ－4m，即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
得m>，设h(θ)＝，
则h(θ)＝4－≤4－2，
即h(θ)max＝4－2，只须m>4－2.
故实数m的取值范围是(4－2，＋∞)．
思维升华　对于恒成立问题，若能转化为a>f(x) (或a<f(x))恒成立，则a必需大于f(x)的最大值(或小于f(x)的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为生疏的求最值的问题进行求解．若不能分别参数，可以将参数看成常数直接求解．
　已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，
∴(k＋1)(2x＋2－x)＝0对一切x∈R恒成立，
∴k＝－1.
(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，
即2x＋k·2－x>2－x成立，
∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.
∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，
∴(22x)min＝1，∴k>0.
∴实数k的取值范围是(0，＋∞).

(时间：70分钟)
1．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(－π)与f的大小．
解　(1)方法一　f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，
其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，如图，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数．
方法二　f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，
定义域为{x|x≠－2}．
设x1<x2，x1，x2∈{x|x≠－2}，
则f(x2)－f(x1)＝[1＋(x2＋2)－2]－[1＋(x1＋2)－2]
＝－＝，
当x1，x2∈(－∞，－2)时，f(x2)－f(x1)>0，
y＝f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即增区间为(－∞，－2)；
当x1，x2∈(－2，＋∞)时，f(x2)－f(x1)<0，
y＝f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，即减区间为(－2，＋∞)．
(2)∵图象关于直线x＝－2对称，
又∵－2－(－π)＝π－2<－－(－2)＝2－，
∴f(－π)>f.
2．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解　(1)由题设得
即解得a＝4，b＝2.
(2)由于f(x)＝log2(4x－2x)，
由定义域4x－2x>0，得x>0.
又[1,2](0，＋∞)，令t＝2x,1≤x≤2，则2≤t≤4.
由于f(x)＝φ(t)＝log2(t2－t)＝log2，
φ(t)在[2,4]上为增函数，
即f(x)在[1,2]上为增函数，
故f(x)的最大值为f(2)＝φ(4)＝log212＝2＋log23.
3．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值．
解　(1)依题意，函数y＝f(x)在R上至少有一个零点，即方程f(x)＝x2－4x＋a＋3＝0至少有一个实数根．所以Δ＝16－4(a＋3)≥0，解得a≤1.
(2)函数y＝f(x)＝x2－4x＋a＋3图象的对称轴方程是x＝2.
①当a＋≤2，
即a≤时，ymax＝f(a)＝a2－3a＋3＝3.
解得a＝0或a＝3.又a≤，所以a＝0.
②当a＋>2，即a>时，ymax＝f(a＋1)＝a2－a＝3，
解得a＝.
又a>，所以a＝.综上，a＝0或a＝.
4．随着机构改革工作的深化进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)·x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，
所以0<x≤.
又140<2a<420，即70<a<210.
①当0<a－70≤，即70<a≤140时，x＝a－70，y取到最大值；
②当a－70>，即140<a<210时，x＝，y取到最大值．
故当70<a<140时，公司应裁员(a－70)人，经济效益取到最大，
当140<a<210时，公司应裁员人，经济效益取到最大．
5．已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当x≤0时，f(x)＝2x－＝0，
方程f(x)＝2无解；
当x>0时，方程f(x)＝2可化为2x－＝2，
即(2x)2－2×2x－1＝0，
由求根公式得2x＝＝1±，
又∵2x>1,1－<1，∴2x＝1＋，得x＝log2(1＋)．
(2)在t∈[1,2]时，原不等式可化为
2t(22t－)＋m(2t－)≥0，
即2t(2t－)(2t＋)＋m(2t－)≥0，
又∵2t－>0，∴2t(2t＋)＋m≥0，即22t＋1＋m≥0，
此不等式左边的最小值为22＋1＋m＝5＋m，
故由5＋m≥0，得m≥－5.
综上所述，m的取值范围为[－5，＋∞)．
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．
(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并争辩函数f(x)在[－3,3]上的单调性；
(3)求出f(x)在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．
解　(1)f(－1)＝kf(－1＋2)＝kf(1)＝k×1×(1－2)＝－k.
∵f(0.5)＝kf(2.5)，
∴f(2.5)＝f(0.5)＝＝－.
(2)∵f(x)＝x(x－2)，x∈[0,2]，设－2≤x≤0，则0≤x＋2<2，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)(x＋2－2)＝kx(x＋2)，
设－3≤x<－2，则－1≤x＋2<0，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)．
设2<x≤3，则0<x－2≤1.
又∵f(x－2)＝kf(x)，
∴f(x)＝f(x－2)＝(x－2)(x－4)．
∴f(x)＝
∵k<0，∴由二次函数学问得f(x)在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数．
(3)由函数f(x)在[－3,3]上的单调性可知，
f(x)在x＝－3或x＝1处取得最小值f(－3)＝－k2或f(1)＝－1，而在x＝－1或x＝3处取得最大值f(－1)＝－k或f(3)＝－.
故有：①k<－1时，f(x)在x＝－3处取得最小值f(－3)＝－k2，在x＝－1处取得最大值f(－1)＝－k.
②k＝－1时，f(x)在x＝－3与x＝1处取得最小值f(－3)＝f(1)＝－1，在x＝－1或x＝3处取得最大值f(－1)＝f(3)＝1.
③－1<k<0时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－1，在x＝3处取得最大值f(3)＝－.