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课时提升作业(五十五)
一、选择题
1.已知大事:①炒熟的种子也能发芽;②异性电荷相互吸引;③方程x2+1=0在实数范围内没有根;④下周六,阳光明媚;⑤某手机用户在一分钟内接到两次呼叫.
以上大事是随机大事的是( )
(A)①② (B)②④ (C)④⑤ (D)①②④⑤
2.(2021·乐山模拟)某班一学习爱好小组在开展一次有奖答题活动中,从3道文史题和4道理科题中,不放回地抽取2道题,第一次抽到文史题,其次次也抽到文史题的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
3.下列说法:
①频率反映大事发生的频繁程度,概率反映大事发生的可能性大小;
②做n次随机试验,大事A发生m次,则大事A发生的频率就是大事A发生的概率;
③百分率是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值;
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
其中正确的是( )
(A)①④⑤ (B)①②④ (C)①③ (D)②⑤
4.10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件产品,“恰有一件是次品”
是( )
(A)不行能大事
(B)必定大事
(C)概率为的随机大事
(D)概率为的随机大事
5.(2021·桂林模拟)有3个爱好小组,甲、乙两位同学各自参与其中一个小组,每位同学参与各个小组的可能性相同,则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
6.一枚骰子连续掷两次,朝上的点数依次为a,b,得点M(a,b),则点M(a,b)在直线y=x上方的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
7.从8名女生和4名男生中选出6名同学组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
8.已知大事:①抛一枚硬币,正面对上;②抛一颗骰子,朝上的点数为2的倍数;
③从含有4个红球,2个白球的袋中,随机取出3个,恰有2个红球,1个白球.
其中概率为的大事是( )
(A)① (B)①②
(C)②③ (D)①②③
9.(2021·南宁模拟)如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)停车场可把12辆车停放在一排上,当有8辆车已停放后,恰有4个空位在一起,这样的大事发生的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
11.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为 .
12.(2021·北海模拟)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为 .
13.(力气挑战题)从1,2,3,…,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这三个数成等差数列的概率为 .
14.(力气挑战题)从班长、团支书等8位班委中任选3人参与A,B,C三项活动,每人一项,则班长不参与A项活动,团支书只参与C项活动的概率为 .
三、解答题
15.(2021·柳州模拟)在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色,将它的棱三等分,然后从每个等分点把正方体锯开,得到27个棱长为1的小正方体,将这些小正方体充分混合后,装入一个口袋中.
(1)从这个口袋中任意取出一个小正方体,求这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率.
(2)从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,求其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色,另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率.
答案解析
1.【解析】选C.明显①为不行能大事,②③为必定大事,④⑤为随机大事.
2.【解析】选A.设“第一次抽到文史题”为大事A,“其次次抽到文史题”为大事B,则
P(AB)==.
3.【解析】选A.①④⑤明显正确;②是大事A发生的频率,不是大事A发生的概率,∴②不正确;③百分率也可以表示概率,∴③不正确.
4.【解析】选C.明显是随机大事,其概率为P==.
5.【解析】选A.甲、乙两位同学参与小组的状况共有9种,参与同一个小组的状况有3种,所以参与同一个小组的概率为=.
6.【解析】选C.直线y=x上方的点应满足y>x,即b>a,
∴当b=6时,a=1,2,3,4,5,共5个;
b=5时,a=1,2,3,4,共4个;
b=4时,a=1,2,3,共3个;
b=3时,a=1,2,共2个;
b=2时,a=1,共1个.
综上,共有1+2+3+4+5=15个.
又全部的点共有6×6=36个,
∴P==.
7.【思路点拨】先按分层抽样确定活动小组中女生和男生的人数,再用等可能性大事的概率公式求解.
【解析】选A.由分层抽样的意义得应抽取女生8×=
4(人),男生4×=2(人).
只要选出6名同学就可以,与挨次无关,故共有种选法.由等可能性大事的概率公式知A正确.
8.【解析】选B.大事①的概率明显为;大事②的概率
P==;大事③的概率P==,故B正确.
9.【思路点拨】正确理解“至少有两个数位于同行或同列”的含义是解题的关键.
【解析】选D.从9个数中任取3个数的方法有种,
①有两个数位于同行,但没有两个数同列的种数为.
②有两个数位于同列,但没有两个数同行的种数为.
③既有两个同行又有两个同列的种数为.
④有三个数位于同行或同列的种数为3×2.
∴至少有两个数位于同行或同列的种数为
×2++3×2,
故所求概率为P==.
【一题多解】解答本题还可用间接法.
从9个数中任取3个数的方法有种.
至少有两个数位于同行或同列的种数为
-
故所求概率为P==.
10.【解析】选C.12个位置上停放8辆车的基本大事总数为,“恰有4个空位在一起”相当于在8辆车的9个空当中插入这4个空位,其基本大事数为,故所求概率为P==.
【方法技巧】排列组合中的“相邻”与“不相邻”问题的解题技巧:
(1)相邻问题常用“捆绑法”.将必需相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列.
(2)不相邻问题常用“插空法”.先把无位置要求的元素进行排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空中,用“插空法”时要留意两端的位置.
11.【解析】
基本大事总数为6,所含基本大事个数为2,
所以所求的概率是P==.
答案:
12.【解析】假设正六边形的六个顶点分别为A,B,C,D,E,F,则从6个顶点中任取4个共有=15种基本结果,所取四个点构成矩形的结果数为3,所以概率为.
答案:
13.【思路点拨】先按公差是1,2,3,4分类求所取三个数成等差数列的个数,然后依据等可能性大事的概率公式求概率.
【解析】从九个数中,任取3个不同的数,共有种取法.
①当公差为1时,有1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8;7,8,9,共7种状况.
②当公差为2时,有1,3,5;2,4,6;3,5,7;4,6,8;5,7,9,共5种状况.
③当公差为3时,有1,4,7;2,5,8;3,6,9,共3种状况.
④当公差为4时,有1,5,9,共1种状况.
故这三个数成等差数列的概率为P==.
答案:
14.【解析】从8人中任选3人参与A,B,C三项活动,每人一项的方法共有种.
①所选3人中既没有班长,也没有团支书的状况有种.
②所选3人中有班长,没有团支书的状况有种.
③所选3人中没有班长,但有团支书的状况有种.
④所选3人中既有班长,也有团支书的状况有种.
故所选3人,班长不参与A项活动,团支书只参与C项活动的概率为P===.
答案:
15.【思路点拨】解决该类题的关键是弄清楚没有涂色的状况,一面涂色的状况,以及两面涂色的状况,三面涂色的状况分别是多少.
【解析】27个小正方体中,表面没有涂色的有1个,有一面涂色的有6个,有两面涂色的有12个,有三面涂色的有8个,
(1)由等可能性大事的概率公式,得所求概率
P=.
(2)从口袋中任意取出2个小正方体的取法共有种,其中一个正方体恰好有1个面涂有颜色,另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的状况有+.
故所求概率P==.
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