2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：选修4-5-第一节不等式和绝对值不等式.docx

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课时提升作业(七十八)
1.(2021·玉溪模拟)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集.
(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.
2.(2021·福州模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|.
(1)求x的取值范围,使f(x)为常数函数.
(2)若关于x的不等式f(x)-a≤0有解,求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|.
(1)解不等式f(x)>1.
(2)g(x)=(a>0).
若对∀s∈(0,+∞),∀t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t),试求实数a的取值范围.
4.(2021·泉州模拟)设函数f(x)=.
(1)当a=-10时,求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
5.(2022·辽宁高考)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.
(1)求a的值.
(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值范围.

6.(2021·银川模拟)设函数f(x)=|2x-m|+4x.
(1)当m=2时,解不等式:f(x)≤1.
(2)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤-2},求m的值.
7.(2022·江苏高考)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.
8.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
9.设函数f(x)=|3x-1|+x+2.
(1)解不等式f(x)≤3.
(2)若不等式f(x)>a的解集为R,求a的取值范围.
10.已知对于任意非零实数m,不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|·(|2x-3|-|x-1|)恒成立.求实数x的取值范围.

答案解析
1.【解析】(1)原不等式等价于

或或
解之得<x≤2,或-≤x≤,或-1≤x<-.
即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,
∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
2.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x+3|
=
则当x∈[-3,1]时,f(x)为常数函数.
(2)方法一:如图所示,由(1)得函数f(x)的最小值为4.∴a≥4.
方法二:|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|,∴|x-1|+|x+3|≥4,等号当且仅当x∈[-3,1]时成立,得函数f(x)的最小值为4,则实数a的取值范围为a≥4.

3.【解析】(1)①当x<-2时,原不等式可化为-x-2+x-1>1,此时不成立;
②当-2≤x≤1时,原不等式可化为x+2+x-1>1,即0<x≤1,
③当x>1时,原不等式可化为x+2-x+1>1恒成立,即x>1,
∴原不等式的解集是(0,+∞).
(2)由于g(s)≥f(t)恒成立,即g(s)的最小值不小于f(t)的最大值,
g(s)=as+-3≥-3,
由几何意义可知f(t)的最大值为3.
∴-3≥3,∴a≥3.
4.【解析】(1)由题意得|x+2|+|x-6|-10≥0,
①当x<-2时,不等式可化为-(x+2)-(x-6)-10=-2x-6≥0,即x≤-3;
②当-2≤x≤6时,不等式可化为(x+2)-(x-6)-10=-2≥0无解;
③当x>6时,不等式可化为(x+2)+(x-6)-10=2x-14≥0,即x≥7;
综上所述,函数f(x)的定义域为(-∞,-3]∪[7,+∞).
(2)由题设知,当x∈R时,恒有
|x+2|+|x-6|+a≥0,即|x+2|+|x-6|≥-a.
又由|x+2|+|x-6|≥|(x+2)-(x-6)|=8,
当-2≤x≤6时取“=”号,∴-a≤8,即a≥-8,
所以a的取值范围是[-8,+∞).
5.【解析】(1)由于|ax+1|≤3⇒-4≤ax≤2,而f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},当a≤0时,不合题意;
当a>0时,-≤x≤,对比得a=2.
(2)记h(x)=f(x)-2f(),
则h(x)=
所以|h(x)|≤1,由于|f(x)-2f()|≤k恒成立,
故k≥1.
6.【解析】(1)当x≥1时,f(x)≤1变为:2x-2+4x≤1,即x≤,此时无解;
当x<1时,f(x)≤1变为:2-2x+4x≤1,
即x≤-.
综上:不等式的解集{x|x≤-}.
(2)f(x)=
函数f(x)在(-∞,)上为增函数,在[,+∞)上为增函数,且在x=处,函数是连续的,所以,函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增的.
由于不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤-2},
若≥-2,则2×(-2)+m=2,此时m=6;
若<-2,则6×(-2)-m=2,此时m=-14.
所以,m=6或m=-14时,不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤-2}.
7.【证明】由于3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,
由题设知|x+y|<,|2x-y|<,
从而3|y|<,所以|y|<.

8.【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,
即|x-2|+a-1>0.
当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,解集为R;
当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).
9.【解析】(1)方法一:当x≥时,f(x)=3x-1+x+2=4x+1≤3,
即x≤,∴≤x≤.
当x<时,
f(x)=1-3x+x+2=-2x+3≤3,
即x≥0,∴0≤x<.
综上所述,其解集为{x|0≤x≤}.
方法二:|3x-1|+x+2≤3.
∴|3x-1|≤1-x.
∴x-1≤3x-1≤1-x.
∴{x|0≤x≤}.
(2)f(x)=
当x≥时,f(x)单调递增;
当x<时,f(x)单调递减,
∴f(x)min=f()=.
要使不等式f(x)>a的解集为R,
只需f(x)min>a即可,即>a.
∴a的取值范围为(-∞,).
10.【解析】不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|(|2x-3|-|x-1|)恒成立等价于|2x-3|-|x-1|≤恒成立.
∵≥=3.
∴原不等式等价于|2x-3|-|x-1|≤3.
①当x≤1时,原不等式变为-2x+3+x-1≤3,
∴-1≤x≤1;
②当1<x<时,原不等式变为-2x+3-x+1≤3,∴1<x<;
③当x≥时,原不等式变为2x-3-x+1≤3,
∴≤x≤5.
综上,x的取值范围为[-1,5].

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