2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破：高考中函数图象与性质的应用问题.docx

高考专题突破高考中函数图象与性质的应用问题
考点自测
1．已知a＝()，b＝2，c＝()，则下列关系式中正确的是(　　)
A．c>，所以()<()<()，即b．故b－a的最小值为1－＝.
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
4．已知y＝f(x)的图象如图，则y＝f(1－x)的图象为下列四图中的(　　)

答案　A
解析　将y＝f(1－x)变形为y＝f[－(x－1)]
①作y＝f(－x)图象，将y＝f(x)关于y轴对称即可；
②将f(－x)的图象沿x轴正方向平移1个单位，
得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象．
5．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是______．
答案　(0,1]
解析　函数y＝f(x)－k有两个零点，即函数y＝f(x)与y＝k有两个交点，作出函数y＝f(x)的大致图象如图，可知当02.
解　(1)函数是R上的减函数．理由如下：
∵a∈R有f(－a)＋f(a)＝0恒成立．
∴函数f(x)是奇函数．
又f(－3)＝2，∴f(3)＝－f(－3)＝－2，
∵－3<3，而f(－3)>f(3)且f(x)在R上单调．
所以函数f(x)是R上的减函数．
(2)∵f()<2，
又f(－3)＝2，∴f()－3，
整理得：>0，解得x>0或x<－1.
所以原不等式的解集为{x|x>0或x<－1}．
思维升华　解决和函数有关的不等式的问题，假如已知函数的单调性，可化为f(x1)符号后得到x1，x2的大小，解题时可结合函数的奇偶性机敏变换．
　(1)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x，则f(log210)＝________.
(2)设函数f(x)在(0,2)上是增函数，函数f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是________．
答案　(1)　(2)f()
所以f＝f，f＝f.
又由于f(x)在(0,2)上是增函数，且<1<.
所以f0，
且x2＋x3＝1，
∴x2x3<.
令解得x＝或x＝(舍去)．
∴有f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，试求实数m的取值范围．
解　由于f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)在(－∞，0]上也是增函数，所以f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，
∵f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，
∴f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)，
于是cos 2θ－3>2mcos θ－4m，即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
得m>，设h(θ)＝，
则h(θ)＝4－≤4－2，
即h(θ)max＝4－2，只须m>4－2.
故实数m的取值范围是(4－2，＋∞)．

思维升华　对于恒成立问题，若能转化为a>f(x) (或a2－x成立，求实数k的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，
∴(k＋1)(2x＋2－x)＝0对一切x∈R恒成立，
∴k＝－1.
(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，
即2x＋k·2－x>2－x成立，
∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.
∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，
∴(22x)min＝1，∴k>0.
∴实数k的取值范围是(0，＋∞).

(时间：70分钟)
1．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(－π)与f的大小．
解　(1)方法一　f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，
其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，如图，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数．
方法二　f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，
定义域为{x|x≠－2}．
设x10，
y＝f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即增区间为(－∞，－2)；
当x1，x2∈(－2，＋∞)时，f(x2)－f(x1)<0，
y＝f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，即减区间为(－2，＋∞)．
(2)∵图象关于直线x＝－2对称，
又∵－2－(－π)＝π－2<－－(－2)＝2－，
∴f(－π)>f.
2．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解　(1)由题设得
即解得a＝4，b＝2.
(2)由于f(x)＝log2(4x－2x)，
由定义域4x－2x>0，得x>0.
又[1,2](0，＋∞)，令t＝2x,1≤x≤2，则2≤t≤4.
由于f(x)＝φ(t)＝log2(t2－t)＝log2，
φ(t)在[2,4]上为增函数，
即f(x)在[1,2]上为增函数，
故f(x)的最大值为f(2)＝φ(4)＝log212＝2＋log23.
3．已知函数fx)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值．
解　(1)依题意，函数y＝f(x)在R上至少有一个零点，即方程f(x)＝x2－4x＋a＋3＝0至少有一个实数根．所以Δ＝16－4(a＋3)≥0，解得a≤1.
(2)函数y＝f(x)＝x2－4x＋a＋3图象的对称轴方程是x＝2.
①当a＋≤2，
即a≤时，ymax＝f(a)＝a2－3a＋3＝3.
解得a＝0或a＝3.又a≤，所以a＝0.
②当a＋>2，即a>时，ymax＝f(a＋1)＝a2－a＝3，
解得a＝.
又a>，所以a＝.综上，a＝0或a＝.
4．随着机构改革工作的深化进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)·x]＋2ab.
依题意得2a－x≥·2a，
所以0
又140<2a<420，即70，即1400时，方程f(x)＝2可化为2x－＝2，
即(2x)2－2×2x－1＝0，
由求根公式得2x＝＝1±，
又∵2x>1,1－<1，∴2x＝1＋，得x＝log2(1＋)．
(2)在t∈[1,2]时，原不等式可化为
2t(22t－)＋m(2t－)≥0，
即2t(2t－)(2t＋)＋m(2t－)≥0，
又∵2t－>0，∴2t(2t＋)＋m≥0，即22t＋1＋m≥0，
此不等式左边的最小值为22＋1＋m＝5＋m，
故由5＋m≥0，得m≥－5.
综上所述，m的取值范围为[－5，＋∞)．
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．

(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并争辩函数f(x)在[－3,3]上的单调性；
(3)求出f(x)在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．
解　(1)f(－1)＝kf(－1＋2)＝kf(1)＝k×1×(1－2)＝－k.
∵f(0.5)＝kf(2.5)，
∴f(2.5)＝f(0.5)＝＝－.
(2)∵f(x)＝x(x－2)，x∈[0,2]，设－2≤x≤0，则0≤x＋2<2，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)(x＋2－2)＝kx(x＋2)，
设－3≤x<－2，则－1≤x＋2<0，
∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)．
设2