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双基限时练(四) 单摆
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力
B．摆球在运动中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的
C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
解析 单摆摇摆过程中的回复力是重力沿切线的分力，故A选项错误；摆球在同一位置时有相同的回复力，即有相同的加速度，故B选项正确；摆球摇摆中，除了有回复力以外，还有向心力，指向圆心，即有回复加速度和向心加速度，摆球的加速度是时刻变化的，在平衡位置时，摆球受到向心力指向圆心，加速度不为零，故C、D选项错误．
答案 B
2．(多选题)单摆是为争辩振动而抽象出的抱负化模型，其抱负化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的状况下才能视单摆运动为简谐运动．
答案 ABC
3．如图所示是一个单摆(θ＜10°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，则周期变小
B．把偏角θ变小时，周期也变小
C．摆球由O→B→O，运动的时间为T
D．摆球由O→B→O，运动的时间为
解析 由T＝2π 可知，单摆的周期T与质量无关，A项错误；偏角θ变小，振幅变小，但单摆的周期T与振幅无关，B项错误；O→B→O→C→O为一次全振动，运动时间等于T，C项错误；由O→B→O仅完成了半个全振动，运动时间等于，D项正确．
答案 D
4．将秒摆的周期变为4 s，下面措施正确的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
解析 单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B项均错；对秒摆，T0＝2π ＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π ＝4s，故l＝4l0，C项对、D项错．
答案 C
5．在同一地点，单摆甲的周期是单摆乙的周期的4倍，下列说法正确的是( )
A．甲的频率是乙的4倍
B．甲的摆长是乙的16倍
C．甲的振幅是乙的4倍
D．甲的振动能量是乙的4倍
解析 由单摆的周期公式T＝2π 可知L＝，故B选项正确；甲的频率是乙的频率的，故A选项错误；虽然甲、乙两单摆的摆长有L甲＝16L乙，但两个单摆的摆角不确定，两摆球质量不确定，故C、D选项错误．
答案 B
6．一单摆摆长为40 cm，摆球在t＝0时刻正在从平衡位置向右运动，若g＝10 m/s2，则在1 s时摆球的运动状况是( )
A．正向左做减速运动，加速度正在增大
B．正向左做加速运动，加速度正在减小
C．正向右做减速运动，加速度正在增大
D．正向右做加速运动，加速度正在减小
解析 由T＝2π ，得周期T＝1.256 s，<1 s<T.所以从t＝0时刻，经过1 s后，正由左端最大位移处向平衡位置运动过程中，选项D正确．
答案 D
7．有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，将在地球表面走时精确 的摆钟移到该星球表面，秒针走一圈的实际时间为( )
A. min B. min
C. min D．2 min
解析 由万有引力公式得＝mg，天体表面的重力加速度g＝，M＝πR3ρ，所以该天体表面重力加速度g′是地球表面重力加速度的2倍，即g′＝2g，由单摆的周期公式T＝2π ，得出T′＝T，秒针走一圈时，完成全振动的次数相同，由于周期不同，所以实际经受的时间不同，该摆钟在地球上秒针转一圈时间为1 min，在该天体表面秒针转一圈时间为 min，故B选项正确．
答案 B
8．一单摆做小角度摇摆，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析 由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为0，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为0，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确．
答案 D
9．如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达低端的速度分别为v1和v2，经受的时间分别为t1和t2，那么( )
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．以上三项都有可能
解析 由于AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摇摆，即做简谐运动，等效摆长为2 m，单摆的周期与振幅无关，故有t1＝t2，因mgh＝mv2，所以v＝ ，故v1＞v2，B项正确．
答案 B
10. (多选题)如图所示为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摇摆，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙＝21
B．若甲、乙两单摆在同一地点摇摆，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙＝41
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摇摆，则甲、乙两摆所在的星球的重力加速度之比g甲g乙＝41
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摇摆，则甲、乙两摆所在的星球的重力加速度之比g甲g乙＝14
解析 由图象可知T甲T乙＝21，若两单摆在同一地点摇摆，则g甲＝g乙，故两摆长之比为l甲l乙＝41，A错误，B正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲g乙＝14，C项错误，D项正确．
答案 BD
11．(多选题)如图所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽视)．下列说法中正确的是( )
A．让小球在纸面内摇摆，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面内摇摆，周期T＝π
C．让小球在纸面内摇摆，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摇摆，周期T＝2π
解析 假如小球在纸面内摇摆，以O点为悬点摇摆，其摆长为L，周期T＝2π ，故A选项正确；假如小球在垂直纸面内摇摆，小球以O′为悬点摇摆，如图所示
等效摆长L′＝L＋OO′
＝L＋AO·sin30°
＝L＋ABcos30°·sin30°
＝L
故T′＝2π ＝π ，故B选项正确．
答案 AB
12．在“利用单摆测重力加速度”的试验中
(1)以下做法中正确的是( )
A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开头计时，摆球完成50次全振动时，准时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摇摆
D．单摆振动时，应留意使它的偏角开头时不能小于10°
(2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图所示为__________cm，则单摆的摆长为__________cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示为__________s，则单摆的周期为__________s；当地的重力加速度为g＝__________m/s2；
(3)试验中，假如摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个奇妙的方法不计摆球的半径．具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；其次次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝__________.
解析 (1)单摆的摆长应为摆线长再加上摆球的半径，A错；选择计时起点应以通过平衡位置(速度最大处)为起点可以减小计时误差，B选项错误；单摆振动过程中摆角要小于10°，D选项错误，故C选项正确．
(2)摆球直径为21＋5×0.05＝21.25 mm
＝2.125 cm.
摆长为97.43＋2.125/2＝98.49 cm.
秒表读数为90＋10.0＝100.0 s
周期T＝＝2 s．而g＝4π2＝9.75 m/s2.
(3)设摆线底端到重心的距离为r，
则有T1＝2π ，T2＝2π ，
由两式得g＝4π2.
答案 (1)C
(2)2.125 98.49 100.0 2.0 9.75
(3)4π2
13．将地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是1 h，那么实际的时间是多少？若要在月球上该钟与地面上时一样精确 ，应当如何调整？(g月＝)
解析 (1)设在地球上该钟的周期为T0.在月球上该钟的周期为T，指示时间为t，则在月球上该钟在时间t内完成全振动的次数n＝，在地面上完成n次全振动所记录的时间t0.则有n＝.
即＝，所以t0＝·t＝ ·t＝h.
地面上的实际时间为 h.
(2)要使其在月球上与地面上走得一样精确 ．即应T＝T0
即2π ＝2π ，L′＝L＝L.
应将摆长调到原来的.
答案 h，将摆长调到原来的
14.
如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下(≪R)?
解析 小球由A点开头沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．
由于≪R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等．
小球从A点由静止释放运动到O点的时间为
(2n－1)(n＝1,2,3…)，
由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，
所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝ (n＝1,2,3…)．
答案 (n＝1,2,3…)
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