东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：函数专题--抽象函数A.docx

2021高考数学总复习----函数专题-抽象函数(教案)A
一、例 题选讲
1、已知f(2x)定义域是（1，2），则函数f(log2x)的定义域是 ；
2、若f(x)是奇函数，且（0，+∞）上增函数，又f(2)=0，则fx-f(-x)x<0的解集是 ；
3、已知f(x)是偶函数，并且对定义域内任意x，满足f(x+2)=-1f(x),若当3<x<4时，f(x)=x,则f(2022.5)= ;
4、已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)有四个零点，则f(x+2)=0的全部实根之和为 ；
5、定义在R上的函数f(x)，f(0)≠o ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)∙f(b).
(1)求证：f(0)=1；
(2)求证：对任意x∈R，f(x)> 0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数。

6、已知f(x)是R上的不恒等于0的函数，且对任意a、b∈R，有f(a∙b) = bf(a)+af(b).
(1)求f(0)、f(1)的值；
(2)推断f(x)的奇偶性，并证明。

7、定义在R+上的函数，当x>1时, f(x)>0, 且对任意的a、b∈R+，都有f(a∙b)=f(a)+f(b).
(1) f(1)=0;
(2)证明：f(x)是R+上的增函数；
(3)证明：fxn=nf(x), f(1x)=-f(x) (n∈N*).
8、函数f(x)对任意a、b∈R，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1)证明：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3m2-m-2)<2.

9、函数f(x)的定义域为R，且对任意的a、b∈R，有f(a+b) = f(a)+f(b)-1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1) 证明：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(3)=4,解关于a的不等式f(a2+a-5)<2.
(3)设F(x)=1- f(x)，试证：F(x)在R上是奇函数。

10、函数f(x)的定义域为R，且对任意的a、b∈R，f(a+b) = f(a)+f(b), 若x>0,时, f(x)<0.
(1)推断f(x)的奇偶性，并证明。
(2)推断函数f(x)的单调性。
(3)若f(1)=-3解关于a的不等式f(a2+a-5)<9.

11、函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数，对任意x、y∈(-1,1),总有f(x)+f(y)=fx+y1+xy;且当x∈(-∞,0)时，f(x)>0.
(1)推断f(x) 在(-1,1)上的奇偶性，并证明;
(2)推断f(x) 在(0,1)上的单调性，并证明;
(3)若f15=12 ， 试求f12-f111 -f119 的值。

二、课时作业
1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试推断f(x)的奇偶性。
解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。
2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围
分析：依据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？假如就此争辩，将格外简洁，假如留意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避开一场大规模争辩。
解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m<。
3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(2021)的值。
解：由于f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f（2021）= f(6×335+3)=f(3)=- f(6)= f(0)=0。
4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（， 已知f（1）=2，求f（
解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x ，
f（1）=2， 同理可得
5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+f（x），f（5）=2000，求f（2021）的值。
解：从自变量值2001和1进行比较及依据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故
f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8为周期的周期函数， 从而f（2021）=f（251*8+5）=2000
说明：这类问题毁灭应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发觉函数具有周期性，利用周期性使问题奇异获解。
6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.
（1）求证f（0）=1；
（2）求证：y=f（x）为偶函数.
证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。
（2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），
且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.
说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。
7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试推断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？
解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。
8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。
解：（1）.由于a＞b，所以a-b＞0，由题意得
＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）
（2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜
令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1
9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。
解：等价于

10．已知函数当时，恒有.
(1)求证: 是奇函数;
(2)若.
证明：（1）令，得
令，则
∴ ∴是奇函数。
（2）∵
又∵
11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .
(1)求的值;
(2)推断的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若,,求数列{}的前项和.
解（1）：令，则
令，则
（2）证明：令，则，∵，∴
令，则
∴是奇函数。
（3）当时，，令，则
故，所以
∴
∵
∴，故
∴
12.已知定义域为R的函数满足.
(1)若
(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.
解：(1)∵对任意，函数满足，且
∴
∵，∴=f(a)=a
(2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得
∴对任意，有
上式中，令，则
∵，故
若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故
若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得∴
13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.
(1)求;
(2)求和;
(3)推断函数的单调性,并证明.
（1）解：令，则
（2）∵
∴
∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故
==
(3)任取,则
=∴
∴函数是R上的单调增函数.
14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.
(1)求的值;
(2)求证: 在R上是单调减函数;
(3)若且,求证:.
(1)解: ∵对任意,有>0, ∴令得,
(2)任取任取,则令,故
∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③
∴
∴
∴函数是R上的单调减函数.
(3) 由（1）（2）知，，∴
∵
∴，而
∴
∴
15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.
(1)证明:;
(2)证明: 在R上单调递减;
(3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.
证明(1):令,则
∵当时,,故,∴,∵当时,
∴当时,,则
(2)证明: 任取,则

∵,∴0<,故<0,又∵
∴,故
∴函数是R上的单调减函数.
(3) ∵
由（2）知，是R上的减函数，∴
∵B={}=
又∵，
∴方程组无解，即直线的内部无公共点
∴，故的取值范围是-
16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.
(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;
(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.
证明：(1)任取,则
F=[
∵, ∴∴
又∵函数是定义在R上的增函数, ∴,
故
∴>0
∴是R上的增函数;
(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则
,故
∵把代入F得, =-
∴函数=的图象关于点(成中心对称图形.
17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.
(1)求的值;
(2)证明: 函数是周期函数;
(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.
17.(1)解:∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,令则∴=0
(2)证明: ∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,∵的图象关于直线对称, ∴对任意都有,∴ 用代得,
∴,即
∴是周期函数,4是其周期.
(3)当时，
当时，，
当时，，
∴
图象如下：
y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
（1）证明：；
（2）若成立，求x的取值范围。
证明：(1)令，则，故
（2）∵，令，则， ∴∴
∴成立的x的取值范围是。
19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（1）试推断函数的奇偶性；
（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(2)由
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域为［－4，2］。
21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。
∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，推断f（x）值的正负。
解：（1）令y＝0代入，则，∴
。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设冲突，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜想存在函数，用数学归纳法证明如下：
（1）x＝1时，∵，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。假如f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
25. 解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。