2021高考数学(文理通用)一轮专项强化训练2.docx

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专项强化训练(二)
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=(1,3),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=(　　)
A.33 B.3 C.-33 D.-3
【解析】选B.由于a∥b,
所以sinθ-3cosθ=0,
即sinθ=3cosθ.
故tanθ=3.
2.(2022·金华模拟)a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ),若a⊥b,则cos2θ等于(　　)
A.-1 B.0 C.12 D.22
【解析】选B.由于a⊥b,
所以a·b=-1+2cos2θ=0,
即cos2θ=12,
故cos2θ=2cos2θ-1=0.
3.(2022·衡水模拟)P是△ABC内的一点,AP→=13(AB→+AC→),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　)
A.3 B.6 C.2 D.32

【解析】选A.设D是BC的中点,则AB→+AC→=2AD→,
由题意,得AP→=23AD→,
所以D在AP上,且P是△ABC的重心.
故S△ABCS△ABP=31=3.
4.已知定义在区间(0,3)上的函数f(x)的图象如图所示,若a=(f(x),0),b=(cosx,1),则不等式a·b<0的解集是(　　)

A.(0,1) B.(0,1]
C.(0,1)∪π2,3 D.(0,1]∪π2,3
【解析】选C.由题意,得a·b=f(x)cosx<0,
所以f(x)>0,cosx<0或f(x)<0,cosx>0.
由x∈0,π2时cosx>0,x∈π2,π时cosx<0及函数f(x)的图象易得原不等式的解集是(0,1)∪π2,3.
5.已知a=cosθ2,sinθ2,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围
是(　　)
A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]
【解析】选C.由于a-b
=cosθ2-cosθ,sinθ2-sinθ,
所以|a-b|=cosθ2-cosθ2+sinθ2-sinθ2
=2-2cosθ2cosθ+sinθ2sinθ
=2-2cosθ2-θ
=2-2cosθ2,
由于θ∈(0,π),
所以θ2∈0,π2,cosθ2∈(0,1).
故|a-b|∈(0,2).
二、填空题(每小题6分,共18分)
6.在平面直角坐标系中,设i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,且OA→=-2i+j,OB→=4i+3j,则△OAB的面积等于　　　.
【解析】由题可知|OA→|=5,|OB→|=5,OA→·OB→=-5,
所以cos<OA→,OB→>=-555=-15,sin<OA→,OB→>=25,所求面积为S=12×5×5×25=5.
答案:5
7.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2),若|a|=
|b|,θ∈(0,π),则θ的值是　　　　.
【解析】由于|a|=|b|,
所以sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=1+4,
即sin2θ=1+sinθcosθ,sin2θ+cos2θ=-1,
sin2θ+π4=-22,
由于θ∈(0,π),
所以π4<2θ+π4<9π4,
所以2θ+π4=5π4或74π.
即θ=π2或34π.
答案:π2或34π
8.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且α-β≠kπ,k∈Z,则a与b确定满足:①a与b的夹角等于α-β;②a⊥b;③a∥b;④(a+b)⊥(a-b).其中正确结论的序号为　　　　　.
【解析】对于①,设a与b的夹角为θ,
则cosθ= =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
由于θ∈[0,π],α-β≠kπ,k∈Z,
所以θ不愿定等于α-β.故①错误;
对于②,由于a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
又cos(α-β)的值并不恒为0,
所以a⊥b不愿定成立,故②错误;
对于③,由于cosαsinβ-sinαcosβ
=sin(β-α)=-sin(α-β),
由α-β≠kπ,k∈Z,知-sin(α-β)≠0,
所以a∥b不成立,故③错误;
对于④,由于(a+b)·(a-b)=a2-b2
=|a|2-|b|2=0,
所以(a+b)⊥(a-b),故④正确.
答案:④
三、解答题(每小题13分,共52分)
9.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为-35,45.
(1)求sin2α+cos2α+11+tanα的值.
(2)若OP→·OQ→=0,求sin(α+β).
【解析】(1)由三角函数定义得cosα=-35,sinα=45,
所以原式=2sinαcosα+2cos2α1+sinαcosα
=2cosα(sinα+cosα)sinα+cosαcosα=2cos2α=2×-352=1825.
(2)由于OP→·OQ→=0,所以α-β=π2,所以β=α-π2,
所以sinβ=sinα-π2=-cosα=35,
cosβ=cosα-π2=sinα=45,
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=45×45+-35×35=725.
10.(2022·湖州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足(2b-c)cosA=acosC.
(1)求角A的大小.
(2)若b=2,c=3,求|AB→+AC→|.
【解析】(1)由正弦定理可得:
2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,
所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
由于sinB≠0,所以cosA=12,所以A=π3.
(2)|AB→+AC→|2=|AB→|2+|AC→|2+2|AB→||AC→|cosA
=7+23,
所以|AB→+AC→|=7+23.
11.(2022·广州模拟)已知向量a=(sinx,1),b=(1,cosx),函数f(x)=22a·b,
(1)求函数f(x)的值域.
(2)若α∈0,π2,β∈0,π2,且fα+β+π4=35,fβ-π4=513,求sinα的值.
【解析】(1)f(x)=22a·b
=22×(sinx+cosx)
=sinx+π4,
故f(x)的值域为[-1,1].
(2)由fα+β+π4=35,得
sinα+β+π2=cos(α+β)=35,
又α∈0,π2,β∈0,π2,
则α+β∈(0,π),
sin(α+β)=1-352=45,
由fβ-π4=513,得sinβ=513,
又β∈0,π2,所以cosβ=1-5132=1213.
sinα=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ
=45×1213-35×513
=3365.
12.(2022·温州模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,m=(cosA,cosC),n=(3c-2b,3a),且m⊥n.
(1)求角A的大小.
(2)若角B=π6,BC边上的中线AM的长为7,求△ABC的面积.
【解析】(1)由于(2b-3c)cosA=3acosC,
所以(2sinB-3sinC)cosA=3sinAcosC,
2sinBcosA=3sinAcosC+3sinCcosA
=3sin(A+C),
则2sinBcosA=3sinB,
所以cosA=32,于是A=π6.
(2)由(1)知A=B=π6,所以AC=BC,C=2π3.
设AC=x,则MC=12x,AM=7,
在△AMC中,由余弦定理得
AC2+MC2-2AC·MC·cosC=AM2,
即x2+x22-2x·x2·cos23π=(7)2,
解得x=2,
故S△ABC=12x2sin2π3=3.
【加固训练】
已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),函数f(x)=2a·b+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的单调减区间.
【解析】(1)由于f(x)=2a·b+1
=2(cosx,sinx)·(-cosx,cosx)+1
=2(-cos2x+sinxcosx)+1
=1-2cos2x+2sinxcosx
=sin2x-cos2x
=2sin2x-π4,
所以f(x)的最小正周期是T=2π2=π.
(2)令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2(k∈Z).
解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8(k∈Z).
又x∈[0,2π],所以3π8≤x≤7π8,11π8≤x≤15π8.
即当x∈[0,2π]时,f(x)的单调减区间是3π8,7π8,11π8,15π8.
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