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2021年高中毕业班级第一次质量猜想
文科数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，那么是( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为( )
A. B. C.1 D.3
4.已知点是抛物线上一点，焦点为，，则（ ）
A. 100 B.200 C.360 D.400
5.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则（ ）
A. 2 B.3 C.4 D.5
6.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）
A.1 B.
C.2 D.
7.如图所示的程序框图中，若，且恒成立，则的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
8.已知点的坐标满足条件，则的最大值为（ ）
A. 17 B.18 C. 20 D.21
9.已知定义在上的函数满足，是的导函数，且函数的图象如右图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（ ）
A. B.
C. D. 2
11. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.争辩函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…( )
A. 0 B. 2022 C. 4028 D. 4031
12.在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-24题为选考题，同学依据要求作答.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13. 已知数列是等比数列，若，则
14. 我市某校组织同学参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是
15. 已知，那么
16.给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有很多个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则.
正确命题是
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别为，且满足，，边上中线的长为.
（I）求角和角的大小；（II）求的面积.
18.(本小题满分12分)
在一个不透亮 的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，登记球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.
（I）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；
（II）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公正吗？
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，，为的中点，为棱的中点.
（I）证明：平面；
（II）已知，求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知动点到定点和直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与线段相交于一点（与不重合）
（I）求曲线的方程；（II）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
设是实数，函数.
（I）争辩函数的单调区间；
（II）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“平衡点”. 当时，试问函数是否存在“平衡点”？若存在，恳求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图所示，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.
（I）求证：为圆的直径；
（II）若，求弦的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.
（I）求圆心的极坐标；（II）求面积的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
2021年高中毕业班级第一次质量猜想
文科数学 参考答案
一、选择题
1-12: CAAD ACCB BDDB
二、填空题
13.96；14.50；15.；16.2,3,4.
三、解答题
17．解：(1).由得
………… 4分
由，得. 故．………6分
(2).设，
由余弦定理得，………8分
解得，……10分
故 ……………………12分
18.解：用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本大事，则基本大事有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共25个； …………………4分
(1).设：甲获胜的的大事为A，则大事A包含的基本大事有：、、、、、、、、、，共有10个；…………………6分
则 .…………………8分
(2).设：甲获胜的的大事为B，乙获胜的的大事为C. 大事B所包含的基本大事有：、、、、、、、、、，共有10个；
则，…………………10分
所以. …………………11分
由于，所以这样规定不公正. ……………………12分
19.解：(1).连结交于，连结，由于，为的中点，所以为的中点．…………………2分
当为的中点，即时，为的中位线，
故，又平面，所以平面.…………………5分
(2).由(1)可知，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，
取的中点，连结，所以，，…………7分
又底面，所以底面.
又，，所以，，…………………10分
所以. …………………11分
则点到平面的距离=…………………12分
20.解：(1).设点，由题意可得，，…………………2分
整理可得：.曲线的方程是.…………………5分
(2).设，，由已知可得：，当时，不合题意.
当时，由直线与圆相切，可得：，即
联立消去得…………………7分
，
所以，
==……10分
当且仅当，即时等号成立，此时
经检验可知，直线和直线符合题意. ………………12分
21.解：（1）
当时，在上恒成立；…………………2分
当时，在时，，当时，
所以，当时，的减区间为(0,+)；…………………4分
当时，的减区间为，增区间为. …………………6分
（2）设为函数图像上一点，则函数在点处的切线方程为：
即：.…………………8分
令
，
则，由于
所以，当时，，当时，
即函数在上为减函数，在上为增，
所以，…………………10分
那么，当时，；
当时，
因此，函数在不存在“平衡点”. …………………12分
22．证明：(1)由于，所以.
由于为切线，故，…………………2分
又由于，所以，
所以，
从而.…………………4分
又所以，所以，
故为圆的直径．…………………5分
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分
又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，…………………9分
所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以.…………………10分
23.解：(Ⅰ)圆的一般方程为，即………2分
所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为；…………………5分
(Ⅱ)直线的一般方程：，圆心到直线的距离
，…………………7分
所以
点直线距离的最大值为…………………9分
.…………………10分
24.解：（Ⅰ）当时，………………………3分
由易得不等式解集为；………………………5分
（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，
由于在处取得最大值，…………………7分
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，
即.……………………………10分
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