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第十章 第一节
一、选择题
1．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成果的状况，从参与考试的同学中随机地抽查了1000名同学的数学成果进行统计分析．在这个问题中下列说法正确的是( )
A．总体指的是该市参与升学考试的全体同学
B．个体指的是1 000名同学中的每一名同学
C．样本容量指的是1 000名同学
D．样本是指1 000名同学的数学升学考试成果
[答案] D
[解析] 由于是了解同学的数学成果的状况，因此样本是指1 000名同学的数学成果，而不是同学，故选D．
2．(文)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A．9 B．10
C．12 D．13
[答案] D
[解析] ∵＝，∴n＝13.故选D．
(理)某学校有男、女同学各500名，为了解男、女同学在学习爱好与业务爱好方面是否存在显著差异，拟从全体同学中抽取100名同学进行调查，则宜接受的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
[答案] D
[解析] 本题考查简洁随机抽样．
由数据特点可接受分层抽样．
3．(2022·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3
[答案] D
[解析] 本题考查随机抽样．依据随机抽样的原理可得，简洁随机抽样、分层抽样、系统抽样都必需满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3.留意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的．
4．利用简洁随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若其次次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由题意知＝，
∴n＝28.
∴P＝＝.
5．为规范学校办学，省训练厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名同学，现将该班同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A．13 B．19
C．20 D．51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号．
6．(文)某市A、B、C三个区共有高中同学20 000人，其中A区高中同学7 000人，现接受分层抽样的方法从这三个区全部高中同学中抽取一个容量为600人的样本进行学习爱好调查，则A区应抽取( )
A．200人 B．205人
C．210人 D．215人
[答案] C
[解析] 依据分层抽样的特点，A区应抽取的人数为
×600＝210人．
(理)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A．7 B．15
C．25 D．35
[答案] B
[解析] 由题意知，青年职工人数中年职工人数老年职工人数＝350250150＝753.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
二、填空题
7．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．
[答案]
[解析] 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即＝.
8．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
[答案] 6
[解析] 本题主要考查了分层抽样
男运动员的抽样比为＝.
故女运动员抽取42×＝6人．
9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品．其相应产品数量之比为235，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本的容量n＝________.
[答案] 80
[解析] 由分层抽样的特点可知＝，∴n＝80.
三、解答题
10．某初级中学共有同学2 000名，各班级男、女生人数如下表：
初一班级
初二班级
初三班级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校同学中随机抽取1名，抽到初二班级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，问应在初三班级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三班级中女生比男生多的概率．
[分析] 本题考查概率统计及简洁随机抽样的基本学问．
[解析] (1)∵＝0.19，∴x＝380.
(2)初三班级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，应在初三班级抽取的人数为：×500＝12名．
(3)设初三班级女生比男生多的大事为A，初三班级女生、男生数记为(y，z)
由(2)知y＋z＝500，且y、z∈N，
基本大事空间包含的基本大事有：(245,255)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11个，
大事A包含的基本大事有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个，
∴P(A)＝.
一、选择题
1．某学校有高一同学720人，现从高一、高二、高三这三个班级同学中接受分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一同学数是抽取的高二同学数、高三同学数的等差中项，且高二班级抽取40人，则该校高三同学人数是( )
A．480 B．640
C．800 D．960
[答案] D
[解析] 设抽取高一同学x人，抽取高三同学y人，高三同学总人数为z人，则由题意得：求得又由＝，得z＝960.故选D．
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般老师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )
A．①简洁随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简洁随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简洁随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简洁随机抽样
[答案] A
[解析] ①总体较少，宜用简洁随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差异较大，宜用分层抽样．
二、填空题
3．(文)为了了解参与一次学问竞赛的1252名同学的成果，打算接受系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是________．
[答案] 2
[解析] 由系统抽样特点应剔除2个．
(理)防疫站对同学进行身体健康调查，接受分层抽样法抽取，红星中学共有同学1 600名，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生总共人数为______．
[答案] 760
[解析] 设该校女生共有x人，则男生为1 600－x人，女生抽了y人，则男生抽了y＋10人．
∴，∴.
4．最近网络上流行一种“QQ农场玩耍”，这种玩耍通过软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班同学对此玩耍的态度，高三(6)班方案在全班60人中开放调查，依据调查结果，班主任方案接受系统抽样的方法抽取若干名同学进行座谈，为此先对60名同学进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的同学中最小的两个编号为03,09，则抽取的同学中最大的编号为________．
[答案] 57
[解析] 由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.
三、解答题
5．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
[分析] (1)机构改革关系到各种人不同的利益；(2)不同层次的人员状况有明显差异，故接受分层抽样．
[解析] 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)∵20100＝15，∴＝2，＝14，＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号，1～20编号，然后接受抽签法分别抽取2人，4人；对一般干部70人接受00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
(3)将抽取的2人，4人，14人的编号对应的人汇合在一起就取得了容量为20的样本．
6．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．假如接受系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；假如样本容量增加一个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36(人)．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程师人数为×6＝人，技术员人数为×12＝人，技工人数为×18＝人，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，由于必需是整数，所以n只能取6.即样本容量为n＝6.
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