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8 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 设全集U＝{1，2，3，4，5}，已知集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合∁U(A∩B)＝( )
A. {3} B. {4，5} C. {3，4，5} D. {1，2，4，5}
2. 函数f(x)＝sin(2x＋)(x∈R)的最小正周期为( )
A. B. π C. 2π D. 4π
3. 若x＝1满足不等式ax2＋2x＋1<0，则实数a的取值范围是( )
A. (－3，＋∞) B. (－∞，－3) C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
4. 圆x2＋y2－2x＋2y＝0的周长是( )
A. 2 π B. 2π C. π D. 4π
5. 设平面对量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝( )
A. (7，3) B. (7，7) C. (1，7) D. (1，3)
6. 若直线l1：y＝(3a＋2)x＋3与直线l2：y＝3x＋2垂直，则实数a的值为( )
A. － B. C. D. －
7. 不等式|x－1|<2的解集是( )
A. x<3 B. x>－1
C. x<－1或x>3 D. －1<x<3
8. 下列函数中，在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A. y＝ B. y＝x2＋1 C. y＝2x D. y＝log3x
9. 若600°角终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A. 4 B. －4 C. ±4 D.
10. 已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin的值为( )
A. B. － C. D. －
(第11题)
11. 一个几何体的三视图如图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
12. 已知tanx＝2，则＝( )
A. B. C. D.
13. 不等式x2－y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是( )
14. 已知椭圆＋＝1，若其长轴在y轴上，焦距为4，则m等于( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
15. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A. 64 B. 81 C. 128 D. 243
16. 已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B. C. D.
(第17题)
17. 将函数y＝sinωx(ω>0)的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A. y＝sin(x＋) B. y＝sin(x－)
C. y＝sin(2x＋) D. y＝sin(2x－)
18. 在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
19. 若a，b是异面直线，则确定存在两个平行平面α，β，使( )
A. a⊂α，b⊂β B. a⊥α，b⊥β
C. a∥α，b⊥β D. a⊂α，b⊥β
20. 若方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0只有正根，则m的取值范围是( )
A. m≤－4或m≥4 B. －5＜m≤－4
C. －5≤m≤－4 D. －5＜m＜－2
21. 圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得弦长为8，则c的值为( )
A. 10 B. －68 C. 12 D. 10或－68
22. 已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A. [－1，0] B. [－1，1]
C. [0，1] D. [1，2]
23. 在正方体中ABCD－A1B1C1D1，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
24. “α＝kπ＋π，k∈Z”是“sin2α＝”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
25. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 命题“至少有一个偶数是素数”的否命题为_________________．
27. 点(－2，1)到直线3x－4y－2＝0的距离等于________．
28. 函数y＝x＋的值域是________．
29. 在等差数列{an}中，若an<0，且a32＋a82＋2a3a8＝9，则其前10项和为________．
30. 已知M是椭圆＋＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积等于________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)在△ABC中，若＝.
(1)求∠B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
(A)如图，在四周体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
,[第32题(A)]) ,[第32题(B)])
(B)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是A1D1，A1C1的中点．
(1)求证：BD⊥CF；
(2)求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
33. (本题8分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2－8＝0与C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．
(1)求公共弦AB的长；
(2)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．
34. (本题8分)设数列{an}中a1＝3，an＋1－an＝3·2n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
8 2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)
1. D 2. B 3. B 4. A 5. A 6. A 7. D
8. A 9. B 10. C 11. B 12. B 13. C 14. D
15. A 16. C 17. C 18. C 19. A 20. B
21. D 22. B 23. B 24. B
25. C [提示：M，|MF2|＝，|F1F2|＝2c，∴2c＝，2ac＝(c2－a2)，∴e2－2e－＝0，e＝.]
26. 全部的偶数都不是素数
27. 28. (－∞，－2]∪[2，＋∞)
29. －15 [提示：(a3＋a8)2＝9，∴a3＋a8＝－3，S10＝＝－15.]
30. 3 [提示：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝10，∵cos 60°＝＝＝，∴mn＝12，S＝mnsin60°＝3.]
31. (1)由余弦定理得＝，化简得a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝＝＝－，∴∠B＝120°.
(2)b2＝a2＋c2－2accosB，∴13＝(a＋c)2－2ac－2ac·，∴ac＝3，∴S△ABC＝acsinB＝.
32. (A)证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.∵AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
(第32题)
(B)(1)证明：∵BD⊥CA，BD⊥A1A，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CF.
(2)解：设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)，则＝(－1，0，2)，＝(1，－1，2)，∴||＝，||＝.
·＝－1＋0＋4＝3.又∵·＝
||||cos〈，〉＝cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴所求角的余弦值为.
33. 解：(1)由两圆的方程组成的方程组相减即得x－2y＋4＝0，此为公共弦AB所在的直线方程．圆心C1(－1，－1)，半径r1＝，C1到直线AB的距离为d＝＝，故公共弦长|AB|＝2＝2.
(2)圆心C2(1，－5)，过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋y＋3＝0，过A，B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，由得圆心(－2，1)，半径r＝，所以所求圆方程(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
34. 解：(1)a2－a1＝3·20，
a3－a2＝3·21，
a4－a3＝3·22，
…
an－an－1＝3·2n－2，
以上各式相加得an－a1＝3(20＋21＋22＋…＋2n－2)，
∴an＝3＋3×＝3·2n－1.
(2)bn＝3n·2n－1，
Sn＝3[20＋2·21＋3·22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1]，
2Sn＝3[1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n]－Sn＝3[20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n]
＝3·[－n·2n]，
∴Sn＝(n－3)·2n＋3.
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