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第6讲 几何概型
1．几何概型
假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
[做一做]
1．(2022·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
2．(2022·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设质点落在以AB为直径的半圆内为大事A，则P(A)＝＝＝.
辨明两个易误点
(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．
(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．
[做一做]
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.正方形的面积为4，S△EBC＝×2×2×sin 60°＝，所以质点落在△EBC内的概率为.
4．(2021·湖南省五市十校联合检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P＝＝.
__与长度有关的几何概型(高频考点)______
与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为简洁题或中档题．
高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：
(1)与线段长度有关的几何概型；
(2)与时间有关的几何概型；
(3)与不等式有关的几何概型；
(4)与距离有关的几何概型．
(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观看的是红灯的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)设p在[0，5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实数根的概率为________．
(3)(2021·河北省衡水中学调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PAB的面积不大于的概率是________.
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几何概型的概率
[解析] (1)以时间的长短进行度量，故P＝＝.
(2)一元二次方程有实数根即Δ＝p2－4(＋)＝(p＋1)(p－2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为＝.
(3) 如图，作PE⊥AB，设矩形的边长AB＝a，BC＝b，PE＝h，由题意得，ah≤＝，∴h≤，由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.
[答案] (1)B (2) (3)
[规律方法] 解答关于长度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A包含的基本大事转化为相应长度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以表示时间的长短等．
1. (1)在区间[－，]上随机取一个x，sin x的值介于－与之间的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)在区间[－5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为________．
(3)(2021·昆明三中、玉溪一中统考)设a∈[0，10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________．
解析：(1)所求概率为＝，故选A.
(2)由1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，得a2－a－2＜0⇒－1＜a＜2，所以所求概率为＝.
(3)∵函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，∴a－2＜0，解得a＜2，∴函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝.
答案：(1)A (2) (3)
__与体积有关的几何概型______________
(2021·长春市其次次调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为________．
[解析] 由于EH∥A1D1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCC1B1.过EH的平面与平面BCC1B1交于FG，则EH∥FG，所以易证明几何体A1ABFED1DCGH和EB1FHC1G分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P＝1－＝1－＝1－＝.
[答案]
[规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简洁的也可利用其对立大事去求．
2.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为大事A，则P(A)＝＝1－.
__与面积有关的几何概型______________
(1)(2021·高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的掩盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
(2)(2022·高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)取面积为测度，则所求概率为P＝＝＝＝1－.
(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，
易知C(－，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝.
[答案] (1)A (2)D
[规律方法] 求解与面积有关的几何概型的留意点：
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
3.(1)(2021·大连市第一次模拟)在区间[－1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)(2021·昆明市第一次摸底)设区域Ω＝{(x，y)|10≤x≤2，0≤y≤2}，区域A＝{(x，y)|xy≤1，(x，y)∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为________．
解析：(1)点(x，y)分布在正方形区域，画出区域x－y－1≤0，可知所求的概率为.
(2)在平面直角坐标系中画出区域Ω和A，则区域Ω的面积为4，区域A的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y＝(x＞0)与x＝，x＝2，y＝0所形成的曲边梯形的面积，则区域A的面积SA＝×2＋∫2dx＝1＋2ln 2.依据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A中的概率P＝＝.
答案：(1)D (2)
方法思想——转化与化归思想在几何概型中的应用
2022·高考重庆卷)某校早上8∶00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
[解析] 设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7∶30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.
[答案]
[名师点评] 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．
(2021·高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C. 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4，0≤y≤4，而大事A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x－y|≤2，可行域如图阴影部分所示．
由几何概型概率公式得
P(A)＝＝.
1．(2021·洛阳市统考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则大事“x2dx＞”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵x2dx＝x3|＝a3＞，∴a＞，
∴P(a＞)＝＝.
2．(2021·沈阳市教学质量监测)
一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N，其中有m(m＜N)粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估量圆周率π的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.依据几何概型可知＝，π＝.
3．若k∈[－3，3]，则k的值使得过A(1，1)可以作两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点A的距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3，0)∪(2，3]，所求概率P＝＝.
4．(2021·山西省第三次四校联考)向边长分别为5，6，的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
解析：选A.在△ABC中，设AB＝5，BC＝6，AC＝，则cos B＝＝，则sin B＝，S△ABC＝×5×6×＝9，分别以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率P＝＝1－.
5．在可行域内任取一点，规章如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C. 程序中不等式组表示的平面区域如图所示，面积为4×××＝4.满足不等式x2＋y2≤1的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为π，所以能输出数对(x，y)的概率为.故选C.
6．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．
解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝＝0.3.
答案：0.3
7．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为________．
解析：正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝.
又S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h<，
即点M在正方体的下半部分，
∴P＝＝.
答案：
8．(2021·安徽合肥高三质检)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
解析：(用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以所求概率P＝＝＝.
答案：
9．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，所求概率为P2＝＝.
10．城市公交车的数量太多简洁造成资源的铺张，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：
组别
候车时间
人数
一
[0，5)
2
二
[5，10)
6
三
[10，15)
4
四
[15，20)
2
五
[20，25]
1
(1)求这15名乘客的平均候车时间；
(2)估量这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
解：(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5，
故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.
(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为＝，所以候车时间少于10 min的人数为60×＝32.
(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的全部可能状况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能状况，故所求概率为.
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