《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第6讲-几何概型.docx

第6讲几何概型1几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的概率公式P(A)做一做1(2022高考湖南卷)在区间2，3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A.B.C. D.解析：选B.在区间2，3上随机选取一个数X，则X1，即2X1的概率为P.2(2022高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C. D.解析：选B.设质点落在以AB为直径的半圆内为大事A，则P(A).辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的做一做3. 如图，正方形ABCD的边长为2，EBC为正三角形若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在EBC内的概率为()A. B.C. D.解析：选B.正方形的面积为4，SEBC22sin 60，所以质点落在EBC内的概率为.4(2021湖南省五市十校联合检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为()A. B.C. D.解析：选C.由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P._与长度有关的几何概型(高频考点)_与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为简洁题或中档题高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：(1)与线段长度有关的几何概型；(2)与时间有关的几何概型；(3)与不等式有关的几何概型；(4)与距离有关的几何概型(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观看的是红灯的概率是()A.B.C. D.(2)设p在0，5上随机地取值，则方程x2px0有实数根的概率为_(3)(2021河北省衡水中学调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则PAB的面积不大于的概率是_.扫一扫进入91导学网()几何概型的概率解析(1)以时间的长短进行度量，故P.(2)一元二次方程有实数根即p24()(p1)(p2)0，解得p1或p2，故所求概率为.(3) 如图，作PEAB，设矩形的边长ABa，BCb，PEh，由题意得，ah，h，由几何概型的概率计算公式得所求概率P. 答案(1)B(2)(3)规律方法解答关于长度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A包含的基本大事转化为相应长度，即可利用几何概型的概率计算公式求解此处的“长度”可以是线段的长短，也可以表示时间的长短等1. (1)在区间，上随机取一个x，sin x的值介于与之间的概率为()A.B.C. D.(2)在区间5，5内随机地取出一个数a，使得1x|2x2axa20的概率为_(3)(2021昆明三中、玉溪一中统考)设a0，10，则函数g(x)在区间(0，)内为增函数的概率为_解析：(1)所求概率为，故选A.(2)由1x|2x2axa20，得a2a201a2，所以所求概率为.(3)函数g(x)在区间(0，)内为增函数，a20，解得a2，函数g(x)在区间(0，)内为增函数的概率为.答案：(1)A(2)(3)_与体积有关的几何概型_(2021长春市其次次调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB2AA12a，EFa，B1E2B1F.在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为_解析由于EHA1D1，所以EHB1C1，所以EH平面BCC1B1.过EH的平面与平面BCC1B1交于FG，则EHFG，所以易证明几何体A1ABFED1DCGH和EB1FHC1G分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P111.答案规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简洁的也可利用其对立大事去求2.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外记“点P到点O的距离大于1”为大事A，则P(A)1._与面积有关的几何概型_(1)(2021高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的掩盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.(2)(2022高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.解析(1)取面积为测度，则所求概率为P1.(2)如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.答案(1)A(2)D规律方法求解与面积有关的几何概型的留意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解3.(1)(2021大连市第一次模拟)在区间1，1内随机取两个实数x，y，则满足yx1的概率是()A.B.C. D.(2)(2021昆明市第一次摸底)设区域(x，y)|10x2，0y2，区域A(x，y)|xy1，(x，y)，在区域中随机取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为_解析：(1)点(x，y)分布在正方形区域，画出区域xy10，可知所求的概率为.(2)在平面直角坐标系中画出区域和A，则区域的面积为4，区域A的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y(x0)与x，x2，y0所形成的曲边梯形的面积，则区域A的面积SA22dx12ln 2.依据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A中的概率P.答案：(1)D(2)方法思想转化与化归思想在几何概型中的应用2022高考重庆卷)某校早上800开头上课，假设该校同学小张与小王在早上730750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)解析设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足xy5.如图，原点O表示730，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1515，故所求概率为P.答案名师点评本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解(2021高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.B.C. D.解析：选C. 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0x4，0y4，而大事A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|xy|2，可行域如图阴影部分所示由几何概型概率公式得P(A).1(2021洛阳市统考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则大事“x2dx”发生的概率为()A.B.C. D.解析：选C.x2dxx3|a3，a，P(a).2(2021沈阳市教学质量监测)一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N，其中有m(mN)粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估量圆周率的值为()A. B.C. D.解析：选D.依据几何概型可知，.3若k3，3，则k的值使得过A(1，1)可以作两条直线与圆(xk)2y22相切的概率等于()A. B.C. D.解析：选C.点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切故使圆心与点A的距离大于半径即可，即(1k)212，解得k0或k2，所以所求k3，0)(2，3，所求概率P.4(2021山西省第三次四校联考)向边长分别为5，6，的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为()A1 B1C1 D1解析：选A.在ABC中，设AB5，BC6，AC，则cos B，则sin B，SABC569，分别以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率P1.5在可行域内任取一点，规章如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为()A. B.C. D.解析：选C. 程序中不等式组表示的平面区域如图所示，面积为44.满足不等式x2y21的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为，所以能输出数对(x，y)的概率为.故选C.6已知函数f(x)x2x2，x5，5，若从区间5，5内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)0的概率为_解析：令x2x20，解得1x2，由几何概型的概率计算公式得P0.3.答案：0.37正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_解析：正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，则S四边形ABCDh.又S四边形ABCD1，h.若体积小于，则h，即点M在正方体的下半部分，P.答案：8(2021安徽合肥高三质检)如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_解析：(用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过ABC，所以所求概率P.答案：9已知集合A2，2，B1，1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线xy0的距离不大于的概率解：(1)集合M内的点形成的区域面积S8.因x2y21的面积S1，故所求概率为P1.(2)由题意，即1xy1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S24，所求概率为P2.10城市公交车的数量太多简洁造成资源的铺张，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)： 组别候车时间人数一0，5)2二5，10)6三10，15)4四15，20)2五20，251(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估量这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率解：(1)(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10 min的人数为6032.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的全部可能状况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能状况，故所求概率为.