资源描述
学案12 函数模型及其应用
导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
自主梳理
1．三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的变化
随x增大渐渐表现为与____平行
随x增大渐渐表现为与____平行
随n值变化而不同
2.三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax (a>1)与幂函数y＝xn (n>0)
在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的确定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．
(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn (n>0)
对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．
3．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
4．函数建模的基本程序
自我检测
1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是 ( )
A．v＝ex B．v＝100ln x
C．v＝x100 D．v＝100×2x
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
3．(2010·陕西)某学校要召开同学代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( )
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
4．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的状况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是 ( )
5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度削减，为了保障交通平安，某地依据《道路交通平安法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 (2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
探究点二 分段函数模型
例2 据气象中心观看和猜想：发生于M地的沙尘暴始终向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)
的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试推断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，假如会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？假如不会，请说明理由．
变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
探究点三 指数函数模型
例3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，嘉奖给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并依据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试依据f(x)的表达式推断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．
(参考数据：1.031 29＝1.32)
变式迁移3 (2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律进展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？
(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
2．考查函数模型的学问表现在以下几个方面：
(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；
(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；
(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
X
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
Y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x
2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)的值域是
( )
A．{1.06,2.12,3.18,4.24}
B．{1.06,1.59,2.12,2.65}
C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}
D．{1.59,2.12,2.65}
3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的状况比较，商店盈利状况是 ( )
A．多赚约6元 B．少赚约6元
C．多赚约2元 D．盈利相同
4．国家规定个人稿费纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 ( )
A．4 000元 B．3 800元
C．4 200元 D．3 600元
5．(2011·沧州月考)生产确定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为猎取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ( )
A．18万件 B．20万件
C．16万件 D．8万件
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由此猜想，该区下一年的垃圾量为__________t,2022年的垃圾量为__________t.
7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m长的围墙，假如用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干接受两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是________(填序号)
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，依据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严峻，最大亏损额为多少？
10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，方案在该块地上建筑一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，依据阅历，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要便利结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必需高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．
(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；
(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
答案 自主梳理
1．增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 相对平稳 y轴 x轴 2.(1)快于 ax>xn (2)慢于 logax<xn ax>xn>logax
自我检测
1．A [由e>2，知当x增大时，ex增大更快．]
2．B [依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．]
3．B [每10个人可以推选1个，(xmod 10)>6可以再推选一个，即假如余数(xmod 10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]
4．A
5．5
解析 设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，
则有0.3·x≤0.09，即x≤0.3.
估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．
课堂活动区
例1 解 (1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48
≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－×(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
变式迁移1 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收益为y元，
则y＝x－×50
－×150
＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050，
当x＝4 050时，ymax＝307 050.
答 当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050.
例2 解 (1)由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，
∴s＝×4×12＝24(km)．
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，
当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
综上，可知S＝
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.∵20<t≤35，∴t＝30.
∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
变式迁移2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
例3 解题导引 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x (其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
解 (1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%
＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．
变式迁移3 解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：
y＝100×()x，x∈N*，
由100×()x>1010，得()x>108，
两边取以10为底的对数，
得xlg>8，∴x>，
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
答 经过46小时，细胞总数超过1010个．
课后练习区
1．B [通过检验可知，y＝log2x较为接近．]
2．B [当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；
当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；
当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；
当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.]
3．B [设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23
⇒a＝，b＝，a＋b－46≈6元．]
4．B [设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝
假如稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.]
5．A [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．]
6．a(1＋b) a(1＋b)5
解析 由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2022年的垃圾量为a(1＋b)5 t.
7．2 500 m2
解析 设所围场地的长为x，则宽为，其中0<x<200，场地的面积为x×≤2
＝2 500 m2，
等号当且仅当x＝100时成立．
8．②④
9．解 (1)由已知，
m－n＝x－－
＝x2－x－2.……………………………………………………………………………(3分)
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
据题意，x>0，所以x≥4.
故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分)
(2)若企业亏损最严峻，则n－m取最大值．
由于n－m＝－x2＋5x＋－x＋
＝－＝－(x－1)2.………………………………………………………(9分)
所以当x＝1时，n－m取最大值，
此时m＝－＝.
故当月总产值为万元时，企业亏损最严峻，最大亏损额为万元．………………(12分)
10．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(5分)
∵f(x)＝560＋48(x＋)≥560＋48·2＝560＋48×30＝2 000.……………(10分)
当且仅当x＝时，上式取等号，即x＝15时，f(x)min＝2 000.
所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)依题意有
y＝……………………………………………(4分)
由于y>0且x∈N*，
由 得6≤x≤10，x∈N*.
由
得10<x≤38，x∈N*，
所以函数为
y＝
定义域为{x|6≤x≤38，x∈N*}．…………………………………………………………(6分)
(2)当x＝10时，y＝100x－575 (6≤x≤10，x∈N*)取得最大值425元，……………(8分)
当x>10时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－＝时，y取最大值，但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575 (10<x≤38，x∈N*)取得最大值833元．(12分)
比较两种状况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)
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