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第2讲 向量的分解与向量的坐标运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是 ( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
解析 由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.
答案 B
2．(2022·沈阳质量监测)已知在▱ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝ ( )
A. B.
C. D.
解析 由于在▱ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝×(－1，12)＝，故选B.
答案 B
3．(2022·青岛质量检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 ( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
4．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于 ( )
A．－a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析 设c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，
∴∴∴c＝a－b.
答案 B
5.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2 ，则 ( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案 A
二、填空题
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析 由于a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案
7．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，
c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
答案 4
三、解答题
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)．
∴＝(9，－18)．
10．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解 法一 设＝a，＝b，
则a＝＋＝d＋， ①
b＝＋＝c＋. ②
将②代入①，得a＝d＋，
∴a＝d－c＝(2d－c)， ③
将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝
(2c－d)．
∴＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二 设＝a，＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
因而⇒
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案 B
12．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝( )
A．2 B. C．2 D．4
解析 由于|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ ＋μ ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
答案 A
13．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析 由题意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案 m≠
14.如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解 如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：
①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，
①若是▱ABCD，则由＝，得
(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)，
即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，
∴∴x＝0，y＝－4.
∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．
②若是▱ADBC，由＝，得
(0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)，
即(1，4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2，4)(如图中所示的D2)．
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0).
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