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其次节 力的合成与分解
[同学用书P22]
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：假如一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力．
(2)关系：合力和分力是一种等效替代关系．
2．力的合成：求几个力的合力的过程．
3．力的运算法则
(1)三角形定则：把两个矢量首尾相连从而求出合矢量的方法．(如图所示)
(2)平行四边形定则：求互成角度的两个力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．
1.(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2削减10 N，F确定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不愿定增大
答案：AD
二、力的分解
1．概念：求一个力的分力的过程．
2．遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
3．分解的方法
(1)按力产生的实际效果进行分解．
(2)正交分解．
2.(单选)将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是( )
答案：C
三、矢量和标量
1．矢量
既有大小又有方向的物理量，相加时遵循平行四边形定则．
2．标量
只有大小没有方向的物理量，求和时按算术法则相加．
3.(单选)下列各组物理量中全部是矢量的是( )
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、长度、速度、电流
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、电流
答案：A
考点一 共点力的合成 [同学用书P23]
1．共点力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法：依据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．
2．重要结论
(1)二个分力确定时，夹角θ越大，合力越小．
(2)合力确定，二等大分力的夹角越大，二分力越大．
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
3．几种特殊状况下力的合成
(1)两分力F1、F2相互垂直时(如图甲所示)：F合＝，tan θ＝.
甲 乙
(2)两分力大小相等时，即F1＝F2＝F时(如图乙所示)：
F合＝2Fcos .
(3)两分力大小相等，夹角为120°时，可得F合＝F.
(单选)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
[解析] 依据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，在水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．依据正交分解法求合力的思想知，3个力的合力为12个单位，与F3的方向相同，大小是F3的3倍，即F合＝3F3，选项B正确．
[答案] B
[总结提升] 解答共点力的合成时应留意的问题
(1)合成力时，要正确理解合力与分力的大小关系：合力与分力的大小关系要视状况而定，不能形成合力总大于分力的思维定势．
(2)三个共点力合成时，其合力的最小值不愿定等于两个较小力的和与第三个较大的力之差．
1.(单选)(2021·泰安模拟)如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
解析：选C.A图中合力为2F3，B图中合力为0，C图中合力为2F2，D图中合力为2F3，因F2＞F3，故C正确．
考点二 力的两种分解方法 [同学用书P23]
1．力的效果分解法
(1)依据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再依据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最终由平行四边形和数学学问求出两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按相互垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和简洁分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则
tan θ＝.
如图所示，用绳AC和BC吊起一重100 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°.求：绳AC和BC对物体的拉力的大小．
[思路点拨] 用实际效果分解法和正交分解法均可．
[解析] 法一：实际效果分解法．
对G分解如图甲，由正弦定理得
＝＝
解得：FA＝100(－1) N，FB＝50(－1) N.
法二：正交分解法
以物体为争辩对象，受力分析并建立如图乙所示的直角坐标系，由平衡条件得
x轴：FBCsin 45°－FACsin 30°＝0①
y轴：FBCcos 45°＋FACcos 30°－mg＝0②
由①②式得
FAC＝100(－1) N，FBC＝50(－1) N.
[答案] 见解析
[题后感悟] 一般状况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简洁，但在本题中，由于两个未知量FAC和FBC与竖直方向夹角已知，所以坐标轴选取了沿水平和竖直两个方向．
2.(多选)如图所示，质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为θ＝30°.不计小球与斜面间的摩擦，则( )
A．轻绳对小球的作用力大小为mg
B．斜面对小球的作用力大小为mg
C．斜面体对水平面的压力大小为(M＋m)g
D．斜面体与水平面间的摩擦力大小为mg
解析：选AD.以B为争辩对象，受力如图甲所示，由几何关系知θ＝β＝30°.依据受力平衡可得FT＝FN＝mg
甲 乙
以斜面体为争辩对象，其受力如图乙所示
由受力平衡得FN1＝Mg＋F′Ncos θ＝Mg＋mg，
Ff＝F′Nsin θ＝mg，故B、C选项错误，A、D选项正确．
[同学用书P24]
方法技巧——挂念图法巧解力的合成和分解问题
(单选)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
[解析] 作合力的图示如图，然后以合力F的末端为圆心、以F2的大小(30 N)为半径画圆弧，由于F2＝30 N>Fsin 30°，所以圆弧与分力F1的作用线有两个交点，所以F2的方向和F1的大小就有两种可能，因此C正确．
[答案] C
[总结提升] 对力分解的唯一性推断、分力最小值的计算以及合力与分力夹角最大值的计算，当力的大小不变方向转变时，通常实行作图法，优点是直观、简捷．
3.两个共点力大小分别为F1＝10 N，F2＝5 N，两力方向夹角可在0°～180°连续变化，求：合力与F1的最大夹角和此时合力的大小．
解析：如图所示，将力F2平移到力F1末端，则以F1末端为圆心、以F2大小为半径画圆，则从O点指向圆周上的任意一点的连线表示合力的大小和方向，由图可知，过O点作圆的切线与F1的夹角最大，即sin θm＝＝，θm＝30°，合力大小为：F＝F1·cos θm＝10× N＝5 N.
答案：30° 5 N
[同学用书P24]
1．(单选)(2021·安徽合肥一中阶段考试)“叠罗汉”是一种高难度的杂技．由六人叠成的三层静态造型如图所示，假设六个人的质量均为m，下面五人弯腰后背部呈水平状态，则底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为(重力加速度为g)( )
A.mg B．mg
C.mg D.mg
解析：选C.受力分析，最上面一层人对其次层人的压力(单只脚)为mg.其次层对底层人的压力(单只脚)为＝mg，底层中间的人受到的压力为两只脚的压力即2×mg＝mg，单脚对地压力为＝mg，C正确．
2.(单选)(2021·福建四地六校第一次月考)如图所示，完全相同的质量为m的A、B两球，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ.则弹簧的长度被压缩了( )
A. B.
C. D.
解析：选C.对球A受力分析可知，球A受竖直向下的重力mg、沿着细线方向的拉力FT以及水平向左的弹簧弹力F，由正交分解法可得水平方向FTsin ＝F＝kΔx，竖直方向FTcos ＝mg，解得Δx＝，C正确．
3．(单选)(2021·淮南模拟)如图所示，在某同学通过滑轮组将一重物缓慢吊起的过程中，该同学对绳的拉力将(滑轮与绳的重力及摩擦力不计)( )
A．渐渐变大 B．渐渐变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
答案：A
4.(多选)如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则( )
A．当F1＞Fsin α时，确定有两解
B．当F1＝Fsin α时，有唯一解
C．当F1＜Fsin α时，无解
D．当Fsin α＜F1＜F时，确定有两解
解析：选BCD.将一个力分解为两个分力，由三角形定则知分力与合力可构成封闭三角形．当F1＜Fsin α时，三个力不能构成封闭三角形，故不行能分解为这样的一对分力F1和F2，选项C正确；当F1＝Fsin α时，可构成唯一一个直角三角形，选项B正确；当Fsin α＜F1＜F时，F1、F2与F可构成两个矢量三角形，即有两解，选项D正确；对于选项A，由于不能确定F1是否小于F，结合前面的分析知，选项A错误．
5．(单选)(2021·唐山模拟)如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止，对小球施加的最小的力是( )
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析：选C.当施加的力与OA垂直时最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，C正确．
6.(单选)如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为( )
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析：选D.由题意可知此题中所争辩的对象“照相机”受四个力作用处于平衡状态，其中“三根轻质支架”的作用力与“重力”的作用线方向的夹角均为30°，即三力等大对称，所以由等大力的合成规律可得3Fcos 30°＝mg，解得F＝mg，故D选项正确．
一、单项选择题
1．F1、F2是力F的两个分力．若F＝10 N，则下列不行能是F的两个分力的是( )
A．F1＝10 N，F2＝10 N
B．F1＝20 N，F2＝20 N
C．F1＝2 N，F2＝6 N
D．F1＝20 N，F2＝30 N
答案：C
2.如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，求这5个力的合力大小( )
A．50 N B．30 N
C．20 N D．10 N
解析：选B.利用三角形定则可知：F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，这5个力的合力大小为3F1＝30 N.
3.(2021·惠州模拟)如图所示，舰载机保持牵引力F大小不变在匀速航行的航母上降落时受到阻拦而静止，此时阻拦索夹角θ＝120°，空气阻力和甲板阻力不计，则阻拦索承受的张力大小为( )
A. B．F
C.F D．2F
解析：选B.两边绳子拉力相等，夹角120°，由结论知：F＝F1＝F2，故选B.
4.(2021·河南平顶山模拟)如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接两个小球A、B，它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计绳与滑轮间的摩擦，当两球平衡时OA绳与水平方向的夹角为θ，OB绳与水平方向的夹角为2θ，则球A、B的质量之比为( )
A．2cos θ∶1 B．1∶2cos θ
C．tan θ∶1 D．1∶2sin θ
解析：选B.A、B的重力都与绳的竖直重量相等，即Tsin θ＝mAg，Tsin 2θ＝mBg，mA∶mB＝1∶2cos θ，选项B正确．
5.(2021·湖南十二校模拟)如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为( )
A.m B.m
C．m D．2m
解析：选A.先以A为争辩对象，由A物块受力及平衡条件可得绳中张力T＝mgsin 30°.再以动滑轮为争辩对象，分析其受力并由平衡条件有mBg＝T，解得mB＝m，A正确．
6．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
A.mg mg B.mg mg
C.mg mg D.mg mg
解析：选A.结点c受到绳子向下的拉力F大小等于物块的重力mg，它产生两个作用效果：拉紧ac绳和bc绳，将力F沿ac绳和bc绳方向分解，如图所示．由图中的几何关系可得F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin 30°＝mg.则有ac绳中的拉力Fac＝F1＝mg，bc绳中的拉力Fbc＝F2＝mg，故A正确．
☆7.(2021·济南模拟)如图所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四个小物块，各小物块之间由四根完全相同的轻弹簧相互连接，正好组成一个菱形，∠BAD＝120°，整个系统保持静止状态．已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，则D物块所受的摩擦力大小为( )
A.Ff B．Ff
C.Ff D．2Ff
解析：选C.假设弹簧处于拉伸状态，设弹簧的弹力为F，以A物块为争辩对象，受力如图甲所示，依据平衡条件可得F＝Ff；再以D物块为争辩对象，受力如图乙所示，Ff′＝2F′cos 30°＝2Fcos 30°＝Ff，选项C正确．
二、多项选择题
8．(2021·南昌高三质检)物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列几组力的合力不行能为零的是( )
A．3 N,4 N,8 N B．5 N,2 N,3 N
C．1 N,5 N,10 N D．10 N,10 N,10 N
解析：选AC.三个力合成，若前两个力的合力可与第三个力大小相等，方向相反，就可以使这三个力合力为零，只要使第三个力在其他两个力的合力范围之内，就可能使合力为零，即第三个力F3满足：|F1－F2|≤F3≤F1＋F2.
9.(2021·北京海淀高三上学期期中)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO的A端和BO的B端固定，平衡时AO水平，BO与水平方向的夹角为60°.AO的拉力F1和BO的拉力F2与物体重力的大小关系是( )
A．F1＞mg B．F1＜mg
C．F2＜mg D．F2＞mg
解析：选BD.以结点O为争辩对象，分析受力，利用平行四边形定则画出各力，可知，F2＞mg，F1＜mg，选项B、D正确．
10．(2021·辽宁抚顺六校模拟)如图所示，重20 N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8 N的力斜向下推物体，F与水平面成30°角，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，则( )
A．物体对地面的压力为24 N
B．物体所受的摩擦力为12 N
C．物体所受的合力为5 N
D．物体所受的合力为零
解析：选AD.物体对地面的压力FN＝mg＋Fsin 30°＝24 N，A正确．水平方向外力的分力为Fx＝Fcos 30°＝4 N，滑动摩擦力Ff＝μFN＝12 N，因Fx＜Ff，无法推动物体，故物体处于静止状态，所受合力为零，摩擦力等于4 N，B、C错误，D正确．
11.(2021·大连模拟)如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零．F1沿－y方向，大小已知．F2与＋x方向夹角为θ(θ<90°)，大小未知．下列说法正确的是( )
A．F3可能指向其次象限
B．F3确定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小可能值为F1cos θ
解析：选AD.因F1、F2、F3的合力为零，故F3应与F2、F1的合力等大反向，故F3可能在其次象限，也可能在第三象限，A对B错；F3、F2的合力与F1等大反向，而F1大小、方向均已知，故F3与F2的合力与其夹角大小无关，C错；当F3与F2垂直时，F3最小，其最小值为F1cos θ，D正确．
12．(2021·潍坊模拟)自卸式货车可以提高工作效率，如图所示．在车厢由水平位置缓慢地抬起到确定高度且货物还未滑离车厢的过程中，货物所受车厢的支持力FN和摩擦力Ff都在变化．下列说法中正确的是( )
A．FN渐渐减小 B．FN先减小后不变
C．Ff渐渐增大 D．Ff先增大后不变
解析：选AD.设车厢与水平面的夹角为α.FN＝mgcos α，α↑则FN↓，A正确B错误．货物滑动前Ff＝mgsin α，α↑则Ff↑，当货物滑动后，Ff＝μFN＝μmgcos α，α↑则Ff↓，故C错D正确．
☆13.(2021·浙江训练学院高考抽测卷)两同学用如图所示方法做共点力平衡试验．M、N为摩擦不计的定滑轮，O点是轻质细绳OA、OB和OC的结点，桌上有若干相同的钩码，一同学已经在A点和C点分别挂了3个和4个钩码，为使O点在两滑轮间某位置受力平衡，另一同学在B点挂的钩码数应是( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选BC.设细绳OM与OC的夹角为θ，则依据力的平衡条件可得：T＝42＋32＋24cos θ，而90°＜θ＜180°，解得1＜TB＜5，所以选项B、C正确．
☆14.如图所示，物体在沿粗糙斜面对上的拉力F作用下处于静止状态．当F渐渐增大到物体即将相对于斜面对上运动的过程中，斜面对物体的作用力可能( )
A．渐渐增大
B．渐渐减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
解析：选AD.由于初始状态拉力F的大小未知，所以斜面对物体的摩擦力大小和方向未知，故在F渐渐增大的过程中，斜面对物体的作用力的变化存在多种可能．斜面对物体的作用力是斜面对物体的支持力与摩擦力的合力．由于物体始终保持静止状态，所以斜面对物体的作用力和物体重力G与拉力F的合力是平衡力．因此，推断斜面对物体的作用力的变化就转化为分析物体的重力G和拉力F的合力的变化．物体的重力G和拉力F的合力的变化如图所示，由图可知，F合可能先减小后增大，也可能渐渐增大．
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