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第三章 三角恒等变换（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(cos －sin )(cos ＋sin )等于( )
A．－ B．－ C． D．
2．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C． D．
4．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )
A． B． C． D．
6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B． C．－ D．
7．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A． B．－ C．2 D．或－
8．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
9．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．c<a<b B．b<c<a
C．a<b<c D．b<a<c
10．已知A，B均为钝角，sin A＝，sin B＝，则A＋B等于( )
A． B． C． D．
11．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在其次象限，且tan β＝－2，则cos∠POQ的值为( )
A．－ B．－
C． D．
12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C．，4π D．，π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．的值是________．
14．已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，则tan α＝
________________________________________________________________________．
15．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为
________________________________________________________________________．
16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<．
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x．
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
19．(12分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b．
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x．
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．
22．(12分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝．
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
答案
1． D [(cos －sin )(cos ＋sin )
＝cos2 －sin2＝cos ＝.]
2． C [y＝sin＝sin
＝cos x，当x＝π时，y＝－1.]
3． B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，
∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]
4． B [y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x
＝－sin
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，
且T＝π.故B项合适．]
5． A [∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sin θ＋cos θ＝sin，
所以<sin≤1，
1<sin θ＋cos θ≤.]
6． B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)
＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos 120°＝.]
7． B [∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－.]
8． C [y＝sin x＋cos x＝sin
∴y＝sin x－cos x＝sin
＝sin.]
9． A [a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c<a<b.]
10．A [∵A、B均为钝角sin A＝，sin B＝，
∴cos A＝－＝－＝－，
cos B＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝(－)×(－)－×
＝－＝.
∵<A<π，<B<π，
∴π<A＋B<2π，
∴A＋B＝π.]
11．A [tan β＝tan(π－θ1)
＝－tan θ1＝－2，
∴tan θ1＝2，tan θ2＝.
∴tan∠POQ＝＝－2，
∴<∠POQ<π.
∴cos∠POQ＝－.]
12．C [＝m⊗＋n＝(2，)⊗(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]
13．1
解析 ∵＝
＝tan 45°＝1，
∴＝1.
14．－
解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α
∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1.
∵<α<π，∴sin α＝，
∴α＝π，∴tan α＝－.
15．＋1
解析 y＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x
＝sin(2x－)＋1，
∴ymax＝＋1.
16．1
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β
∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)
∵α、β均为锐角，
∴sin β＋cos β≠0，
∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.
17．解 ∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
18．解 (1)f()＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.
由于cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
19．解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－，或tan α＝.
∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，
求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos＝cos cos －sin sin
＝－×－×
＝－.
20．解 (1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．
21．解 (1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
由于f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
由于f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]
＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝.
22．解 (1)tan α＝＝，
所以＝.又由于sin2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝.
(2)由于0<α<<β<π，所以0<β－α<π.
由于cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
由于β∈，
所以β＝.
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