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第5讲 古典概型
1．基本大事的特点
(1)任何两个基本大事都是互斥的．
(2)任何大事都可以表示成基本大事的和(除不行能大事)．
2．古典概型
(1)特点：
①试验中全部可能毁灭的基本大事只有有限个，即有限性．
②每个基本大事发生的可能性相等，即等可能性．
(2)概率公式：
P(A)＝．
[做一做]
1．(2022·高考广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
解析：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为＝.
答案：
2．(2022·高考浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
解析：记“两人都中奖”为大事A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A)＝＝.
答案：
1．辨明两个易误点
(1)在计算古典概型中基本大事数和大事发生数时，易忽视他们是否是等可能的．
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．古典概型中基本大事的求法
(1)枚举法：适合给定的基本大事个数较少且易一一列举出的．
(2)树状图法：适合于较为简洁的问题中的基本大事的探求，留意在确定基本大事时(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．
(3)排列、组合法：在求一些较简洁的基本大事的个数时，可利用排列或组合的学问．
[做一做]
3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本大事，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本大事，所以P＝＝.
4．在集合{x|x＝，n＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．
解析：基本大事总数为10，满足方程cos x＝的基本大事数为2，故所求概率为P＝＝.
答案：
__简洁古典概型的求法__________________
(2022·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其班级状况如下表：
一班级
二班级
三班级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出全部可能的结果；
(2)设M为大事“选出的2人来自不同班级且恰有1名男同学和1名女同学”，求大事M发生的概率.
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古典概型的概率
[解] (1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同班级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，大事M发生的概率P(M)＝＝.
[规律方法] 求古典概型概率的基本步骤：
(1)算出全部基本大事的个数n.
(2)求出大事A包含的全部基本大事数m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．
1.(2021·唐山市第一次模拟)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1 050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．
(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数；
(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率．
解：(1)由抽样方法可知
从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3.
(2)记抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3.
大事“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种可能；
大事“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种可能．
故所求概率为P＝0.7.
__较简洁古典概型的概率(高频考点)______
古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属简洁题，以考查基本概念为主．
高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：
(1)依据概率求参数；
(2)利用古典概型的概率公式求概率；
(3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解)．
(2022·高考四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解] (1)由题意知，(a，b，c)全部的可能为
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为大事A，
则大事A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为大事B，则大事B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
[规律方法] 求较简洁大事的概率问题的方法：
(1)将所求大事转化成彼此互斥的大事的和大事，再利用互斥大事的概率加法公式求解．
(2)先求其对立大事的概率，再利用对立大事的概率公式求解．
2.(1)(2021·高考课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
(2)(2022·高考江西卷)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
(3)现有8名北京马拉松志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
①求A1被选中的概率；
②求B1和C1不全被选中的概率．
解析：(1)由题意知n >4，取出的两数之和等于5的有两种状况：1，4和2，3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.
(2)从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.
答案：(1)8 (2)
(3)解：①从8人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名的方法数是CCC＝18，A1恰被选中的方法数是CC＝6.
用M表示“A1恰被选中”这一大事，
P(M)＝＝.
②“B1和C1不全被选中”包括“选B1不选C1”，“选C1不选B1”，“B1和C1都不选”这三个大事，分别记作大事A、B、C，则A、B、C彼此互斥，且有P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，
用N表示这一大事，所以有P(N)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
考题溯源——求古典概型的概率
(2022·高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 掷两颗骰子，点数有以下状况：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为＝.
[答案] B
[考题溯源] 本考题“照搬”人教A版必修3P127的例3
“同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”
1.(2021·山西省太原市模拟)在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选D.随机取出三个数字后，剩下两个数有(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，共10种状况，和为奇数共有(1，2)、(1，4)、(2，3)、(2，5)、(3，4)、(4，5)，共6种状况，故和是奇数的概率为＝0.6.
2．(2021·昆明市调研)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．
解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)．点数积等于12的结果有：(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，共4种，故所求大事的概率为＝.
答案：
1．若有2位老师，2位同学站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.依题意，所求概率为P＝＝.
2．(2022·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.取两个点的全部状况有10种，两个点距离小于正方形边长的状况有4种，所以所求概率为＝.故选B.
3．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵以1为首项，－3为公比的等比数列中的10个数为1，－3，9，－27，81，－243，729，－2 187，6 561，－19 683，其中有5个负数，1个正数1，共6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝.
4．(2021·亳州高三质检)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为＝.
5．(2021·东北三校高三模拟)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”．
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．
∴三位数为“凹数”的概率P＝＝.
6．(2021·山西省忻州市高三联考)某校高三班级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参与数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．
解析：男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－＝.
答案：
7．(2021·吉林试验中学第一次阶段检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
解析：依据题意，可得x的状况有6种，y的状况也有6种，则骰子朝上的点数分别为x，y的状况有36种，若log2xy＝1，则y＝2x，其状况有1、2，2、4，3、6共3种，则满足log2xy＝1的概率是＝，故答案为.
答案：
8. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．
解析：基本大事的总数是16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余状况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.
答案：
9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面对量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得大事“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得大事“|a|≤|b|”发生的概率．
解：(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)全部可能的取法共36种．
使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以大事a⊥b的概率为＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10.
共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a|≤|b|，其概率为＝.
10．(2022·高考山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)由于样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的毁灭是等可能的．
记大事D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D包含的基本大事有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
1．(2021·合肥二检)从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设两名女生为a1，a2，两名男生为b1，b2，则全部可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六支配一名男生、星期日支配一名女生包括4种状况，所以其概率为P＝＝，故选A.
2．(2021·陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为m和n，若记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．
解析：依题意，θ为锐角，则a·b＞0，则m－2n＞0，m＞2n连续掷两次骰子的全部可能结果为36种，其中满足m＞2n的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，所以所求概率为＝.
答案：
3．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四周体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四周体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.
(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；
(2)求大事“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．
解：(1)A＝{6i，7i，8i，9i}．
(2)满足条件的基本大事的个数为24.
设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的大事为B.
当a＝0时，b＝6，7，8，9满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝1时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝2时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.
即B为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)共计11个．
所以所求概率P＝.
4．在APEC会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示大事“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．
(1)共有多少个基本大事？并列举出来；
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．
解：(1)共有36个基本大事，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．
(2)记大事“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为大事A，即大事A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知大事A共含有15个基本大事，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)．“所抽取的两名记者都是男记者”记作大事B，则大事B为“x，y∈{1，2，3，4，5}，且x＜y”，包含(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝＋＝.
5．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：
(1)点A正好在第三象限的概率；
(2)点A不在y轴上的概率；
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．
解：由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4，0}，由Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1，3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4，0，1，3}，由于点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的全部状况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．
(1)点A正好在第三象限的可能状况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝.
(2)点A在y轴上的可能状况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－＝.
(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能状况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝.
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