高中数学(北师大版)必修五教案：3.3-基本不等式-参考教案1.docx

基本不等式（1）教学目标(a)学问与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(b)过程与方法 ：本节学习是同学对不等式认知的一次飞跃。要擅长引导同学从数和形两方面深化地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深同学对定理的理解，并为以后实际问题的争辩奠定基础。基本不等式的证明要留意严密性，老师要挂念同学分析每一步的理论依据，培育同学良好的数学品质(c)情感与价值：培育同学举一反三的规律推理力气，并通过不等式的几何解释，丰富同学数形结合的想象力（2）教学重点、难点教学重点：基本不等式的证明和几何解释教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵（3）学法与教学用具先让同学观看常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可乐观调动地同学的学习热忱。定理的证明要留给同学充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1、设置情境(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简洁的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2xy提问3：好，依据观看4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得简洁得到一个不等式，2xy。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y时，正方形EFGH变成一个点，这时有=2xy2、新课讲授（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有，当且仅当x=y时，等号成立。提问4：你能给出它的证明吗？(同学尝试证明后口答,老师板书)证明: -=, 当时0 ,当x=y时，等号成立。所以 即 ，当且仅当x=y时，等号成立。（2） 设x=,y=,则由这个不等式可以得出下列结论： 假如a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。 我们称上述不等式为基本不等式， 其中称为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。因此，基本不等式，又被称为均值不等式。（3） 基本不等式的一种几何解释。 如图1所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D， 连接AD，BD，由射影定理可知： CD=，而OD=， 由于ODCD 所以 当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。（4） 应用 例1 设a,b均为正数，证明不等式. 证明 由于a,b 均为正数，由基本不等式，可知 也即，当且仅当a=b时，等号成立。 下面给出这个不等式的几何解释。 如上图，AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，过点C 作于E， 在中，由射影定理可知：即DE= 由DCDE ，可得 当且仅当a=b时，等号成立。3. 同学思考沟通 基本不等式的的几种叙述。 （同学沟通完成）4. 课堂练习 课本90页练习题5. 课时小结1.两个重要的不等式2.基本不等式的联系和理解3.对基本不等式和例1及练习题的总结 当且仅当a=b时，等号成立。6. 课后作业1.课本94页A 组3和B组1题2.预习3.2节