资源描述
§3.1基本不等式
教学目标：
1、学问与技能目标：（1）把握基本不等式,生疏其运算结构；
（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简洁的最值。
2、过程与方法目标：（1）经受由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的进展过程,学会用数学的眼光观看、分析事物；
（2）体会多角度探究、解决问题。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探究和理解基本不等式。
教学难点：利用基本不等式求最值的前提条件。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图
引导同学从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
引导同学从面积关系得到不等式：a2+b2≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有
（2）总结结论：一般的，假如
（3）推理证明：作差法
二、讲授新课
重要不等式：假如a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）
1.思考：假如用,去替换中的,能得到什么结论？,要满足什么条件？
结论：≤()，当且仅当时取等号。
2.推理证明：作差法
说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.
3）“当且仅当”的含义：
当时，等号成立，其含义是：假如那么
仅当时，等号成立，其含义是：假如那么
综合起来：其含义是：等价于
4）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项
问：a，b∈R－？
3.(1)探究:(课本P88)
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
引导同学发觉：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤()
几何意义：半弦长不大于半径长。
(2)我们称为正数的几何平均数，称为正数的算术平均数。
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
三、例题讲解
例1：设为正数，证明不等式：
证法（1）由知 故：
证法（2）由知
证法（3）（几何解析 数形结合）
是圆的直径，，过作
交圆上半圆于点，过点作
交于点
在中，由射影定理知
即：
由于得，当且仅当时，等号成立
结论：
例2：若，求的最大值。
变：若，求的最大值。
设计意图：发觉运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件
四、课时小结
1.学问要点：（1）基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义
2．思想方法技巧：（1）数形结合思想
（2）换元法、作差法
（3）配凑等技巧
五、作业
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