2020-2021学年北师大版高中数学必修一单元质量评估(四).docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估 (四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2022南安高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是()A.-52,-2B.(-2,-1)C.(1,2)D.2,52【解析】选B.由于f-2=19-10,故函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是(-2,-1).【变式训练】(2021吉安高一检测)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表,那么函数f(x)确定存在零点的区间是()x123f(x)6.12.9-3.5A.(-,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)【解析】选C.依据函数零点的推断条件,由于f(2)0,f(3)0,则方程f(x)=0在-1,1内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.确定没有实数根【解析】选D.由于f(x)在-2,2上是削减的,且f(-1)f(1) 0,所以f(x)=0在-1,1内确定没有实数根.【变式训练】(2021大庆高一检测)实数a,b,c是图像连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足abc,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上零点有()A.2个B.奇数个C.偶数个D.至少2个【解析】选D.由于f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,即图像在区间(a,c)上至少有2个交点.3.(2022南阳高一检测)下列说法不正确的是()A.方程f(x)=0有实数根函数f(x)有零点B.函数y=x2+3x+5有两个零点C.单调函数至多有一个零点D.函数f(x)在区间a,b上的图像是连续曲线且满足f(a)f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内有零点【解析】选B.由=9-20=-110,得方程x2+3x+5=0无解.即函数y=x2+3x+5无零点,A,C,D均正确.4.(2022阜阳高一检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.函数f(x)=2x+x3-2是增函数,又f(0)=1-2=-10,所以依据根的存在性定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1,选B.5.(2022桂林高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+6x-1(a0)有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.a-9且a0B.a-9C.a0或a0,所以a-9且a0.【变式训练】若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的确定值不超过0.25,则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=lnx-12【解析】选A.f(x)=4x-1的零点为x=14,f(x)=(x-1)2的零点为x=1,f(x)=ex-1的零点为x=0,f(x)=lnx-12的零点为x=32.现在我们来估算g(x)=4x+2x-2的零点,由于g(0)=-1,g12=1,所以g(x)的零点x0,12,又g14-0.0860,故g(x)的零点x14,12.又函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的确定值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适合.6.(2022信阳高一检测)已知函数f(x)=2ax+4,若在区间-2,1上存在零点x0,则实数a的取值范围是()A.(-,-21,+)B.-1,2C.-1,4D.-2,1【解析】选A.由题设条件知f(-2)f(1)0,所以(-4a+4)(2a+4)0,即(-a+1)(a+2)0,所以a-2或a1.【一题多解】本题还可接受以下方法求解,取a=0,函数f(x)=2ax+4,在区间-2,1上不存在零点,排解B,C,D,选A.7.(2022佛山高一检测)某商场对顾客实行购物优待活动,规定一次购物付款总额,假如不超过200元,则不予优待.假如超过200元,但不超过500元,则按标准价赐予9折优待.假如超过500元,则其500元按第条赐予优待,超过500元的部分赐予7折优待.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则应付款是()A.413.7元B.513.6元C.546.6元D.548.7元【解题指南】本题为分段函数型问题,求解的关键是找准每个消费区间上支付的最值,然后借助优待方案回代求解便可.【解析】选C.两次购物标价款：168+4230.9=168+470=638(元),实际应付款：5000.9+1380.7=546.6(元).8.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化状况,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开头买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中正确的是()【解析】选C.即时价格若始终下跌,则平均价格也应当始终下跌,故排解A,D;即时价格若一路上升,则平均价格也应始终上升,排解B.(也可以由x从0开头增大时,f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点,排解A,D),故选C.9.(2022南昌高一检测)若一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根,则有()A.a0C.a1【解析】选A.由于一元二次方程有一个正根和一个负根,不妨设两根为x1,x2,所以0,x1x20,a0,a0,解得a1C.0k1或k=0【解析】选D.令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图像有两个交点时k的取值范围,利用数形结合思想作出两函数图像可得选项D正确.【变式训练】函数f(x)=|x|+k有两个零点,则()A.k=0B.k0C.0k1D.k0即k0.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.函数fx=2x-6的零点为.【解析】由2x-6=0得x=3.答案：312.(2022杭州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.【解题指南】在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x与y=-x的图像,观看交点的横坐标就是函数f(x)=3x+x的零点;画出函数y=log3x与y=-2的图像,观看交点的横坐标就是函数g(x)=log3x+2的零点;画出函数y=log3x与y=-x的图像,观看交点的横坐标就是函数h(x)=log3x+x的零点.【解析】画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图像,如图所示观看图像可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图像可知abc.答案：abc13.(2022西安高一检测)已知函数f(x)=ax2+2x+1,-20有3个零点,则实数a的取值范围是.【解析】由于函数f(x)=ax2+2x+1,-20有3个零点,大致图像如图：所以a0且f(x)=ax2+2x+1在(-2,0上有2个零点,所以a0,a(-2)2+2(-2)+10,-2-1a0,解得34a1时恰有一实根;当0x1时恰有一实根;当-1x0时恰有一实根;当x-1时恰有一实根(有且仅有一实根).【解题指南】借助图像平移及函数零点的等价转化方式求解.【解析】f(x)的图像是将函数y=x(x-1)(x+1)的图像向上平移0.01个单位得到,故f(x)的图像与x轴有三个交点,它们分别在区间(-,-1),0,12和12,1内,故只有正确.答案：三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知函数fx的图像是连续不断的,有如下的x,fx对应值表：x-2-1.5-1-0.500.511.52fx-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89函数fx在哪几个区间内有零点?为什么?【解析】由于函数的图像是连续不断的,并且由对应值表可知f-2f-1.50,f-0.5f00,f0f0.50,所以函数fx在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.【变式训练】方程x2-1x=0在(-,0)内是否存在实数解?并说明理由.【解析】不存在,由于当x0.所以x2-1x0恒成立,故不存在x(-,0),使x2-1x=0.17.(12分)(2022安徽师大附中高一检测)已知函数f(x)=2|x+1|+ax(xR).(1)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围.(2)若函数f(x)的图像与x轴有两个不同的交点,求a的取值范围.【解析】(1)化简f(x)=(a+2)x+2,x-1,(a-2)x-2,x0,a-20,得a2.又x=-1时,y1=-a,y2=-a,故a的范围为(2,+).(2)由(1)可知f(x)恒过(-1,-a),若函数f(x)图像与x轴有两个不同的交点,则a+20,-a0或a+20,a-20,-a0,解得0a2.18.(12分)(2022景德镇高一检测)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0a0,x+30,解得-3x1.所以函数的定义域为(-3,1).(2)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3),由f(x)=0得-x2-2x+3=1即x2+2x-2=0,解得x=-13.由于-13(-3,1),所以f(x)的零点是-13.(3)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4.由于-3x1,所以0-(x+1)2+44,由于0a43,所以第4年长得快.20.(13分)(2022大庆高一检测)旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若旅游团人数多于30人,则赐予优待,每多1人,机票费每张削减10元,但旅游团人数最多为75人.(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数.(2)旅游团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?【解析】(1)设旅游团人数为x人,飞机票价格为y元,依题意,当1x30时,y=900,当30x75时,y=900-10(x-30)=-10x+1200所以所求函数为：y=900,1x30,-10x+1 200,30x75.(2)设利润函数为f(x),则f(x)=yx-15000=900x-15 000,1x30,-10x2+1 200x-15 000,3012000元,所以旅游团人数为60时,旅行社可获得最大利润.【误区警示】本题易因忽视题设条件“但旅游团人数最多为75人”而遗忘限定x的上界.【变式训练】某工厂生产商品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,打算提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将商品A的年产销量削减了10p万件.(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围.(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.【解析】由题意知,当开发费是商品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80(80-10p)万元,新产品开发金额f(p)=80(80-10p)p%(万元).(1)由题设知80(80-10p)p%96,0p8,解得2p6.即新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为2p6.(2)当0p0.若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个交点,求a的取值范围.【解析】(1)由于f(x)=log2(4x+1)+kx(kR)是偶函数,所以f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)对任意xR恒成立.即：log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立,所以k=-1.(2)由于a0,所以g(x)=log2a2x-43a定义域为log243,+,也就是满足2x43.由于函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个交点,所以方程log2(4x+1)-x=log2a2x-43a在(log243,+)上只有一解.即：方程4x+12x=a2x-43a在log243,+上只有一解,令2x=t,则t43,因而等价于关于t的方程(a-1)t2-43at-1=0(*)在43,+上只有一解.当a=1时,解得t=-3443,+,不合题意;当0a1时,记h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图像的对称轴t=2a3(a-1)1时,记h(t)=(a-1)t2-43at-1.其图像的对称轴t=2a3(a-1)0,所以,只需h430,即169(a-1)-169a-11.综上所述,所求a的取值范围为a1.关闭Word文档返回原板块