2020-2021学年北师大版高中数学必修一单元质量评估(四).docx

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单元质量评估 (四)
第四章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2022·南安高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是(　　)
A.-52,-2　　　　　 B.(-2,-1)
C.(1,2) D.2,52
【解析】选B.由于f-2=19-1<0,f-1=13>0,故函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是(-2,-1).
【变式训练】(2021·吉安高一检测)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表,那么函数f(x)确定存在零点的区间是(　　)
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
-3.5
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
【解析】选C.依据函数零点的推断条件,由于f(2)>0,f(3)<0,从而在区间(2,3)内函数必存在零点,故选C.

2.函数f(x)在[-2,2]上是削减的,且f(-1)·f(1)>0,则方程f(x)=0在[-1,1]内
(　　)
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.确定没有实数根
【解析】选D.由于f(x)在[-2,2]上是削减的,
且f(-1)·f(1)> 0,
所以f(x)=0在[-1,1]内确定没有实数根.
【变式训练】(2021·大庆高一检测)实数a,b,c是图像连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上零点有(　　)
A.2个 B.奇数个
C.偶数个 D.至少2个
【解析】选D.由于f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,
所以f(a)f(c)>0,即图像在区间(a,c)上至少有2个交点.
3.(2022·南阳高一检测)下列说法不正确的是(　　)
A.方程f(x)=0有实数根⇔函数f(x)有零点
B.函数y=x2+3x+5有两个零点
C.单调函数至多有一个零点
D.函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线且满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)内有零点
【解析】选B.由Δ=9-20=-11<0,得方程x2+3x+5=0无解.即函数y=x2+3x+5无零点,A,C,D均正确.
4.(2022·阜阳高一检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.函数f(x)=2x+x3-2是增函数,又f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以依据根的存在性定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1,选B.
5.(2022·桂林高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+6x-1(a≠0)有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-9且a≠0 B.a>-9
C.a<-9 D.a>0或a<0
【解题指南】二次函数f(x)=ax2+6x-1(a≠0)有两个不同的零点,对应方程有两个不等实根.
【解析】选A.由题意可知f(x)=0有两个不等实根,
所以a≠0,Δ=36+4a>0,
所以a>-9且a≠0.
【变式训练】若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的确定值不超过0.25,则f(x)可以是(　　)
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=lnx-12
【解析】选A.f(x)=4x-1的零点为x=14,
f(x)=(x-1)2的零点为x=1,
f(x)=ex-1的零点为x=0,
f(x)=lnx-12的零点为x=32.
现在我们来估算g(x)=4x+2x-2的零点,
由于g(0)=-1,g12=1,
所以g(x)的零点x∈0,12,
又g14≈-0.086<0,
故g(x)的零点x∈14,12.
又函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的确定值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适合.
6.(2022·信阳高一检测)已知函数f(x)=2ax+4,若在区间[-2,1]上存在零点x0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]∪[1,+∞) B.[-1,2]
C.[-1,4] D.[-2,1]
【解析】选A.由题设条件知f(-2)·f(1)≤0,
所以(-4a+4)(2a+4)≤0,即(-a+1)(a+2)≤0,
所以a≤-2或a≥1.
【一题多解】本题还可接受以下方法求解,取a=0,函数f(x)=2ax+4,在区间[-2,1]上不存在零点,排解B,C,D,选A.
7.(2022·佛山高一检测)某商场对顾客实行购物优待活动,规定一次购物付款总额,
①假如不超过200元,则不予优待.
②假如超过200元,但不超过500元,则按标准价赐予9折优待.
③假如超过500元,则其500元按第②条赐予优待,超过500元的部分赐予7折优待.
某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则应付款是(　　)
A.413.7元 B.513.6元
C.546.6元 D.548.7元
【解题指南】本题为分段函数型问题,求解的关键是找准每个消费区间上支付的最值,然后借助优待方案回代求解便可.
【解析】选C.两次购物标价款：168+4230.9=168+470=638(元),实际应付款：500×0.9+138×0.7=546.6(元).
8.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化状况,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开头买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中正确的是(　　)

【解析】选C.即时价格若始终下跌,则平均价格也应当始终下跌,故排解A,D;即时价格若一路上升,则平均价格也应始终上升,排解B.(也可以由x从0开头增大时,f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点,排解A,D),故选C.
9.(2022·南昌高一检测)若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有(　　)
A.a<0　　 　B.a>0 　　　C.a<-1　 　　D.a>1
【解析】选A.由于一元二次方程有一个正根和一个负根,不妨设两根为x1,x2,所以Δ>0,x1x2<0,a≠0,即4-4a>0,a<0,a≠0,
解得a<0,故选A.
10.函数f(x)=|x2-6x+8|-k只有两个零点,则(　　)
A.k=0 B.k>1
C.0≤k<1 D.k>1或k=0
【解析】选D.令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图像有两个交点时k的取值范围,利用数形结合思想作出两函数图像可得选项D正确.
【变式训练】函数f(x)=|x|+k有两个零点,则(　　)
A.k=0 B.k>0
C.0≤k<1 D.k<0
【解析】选D.在同一坐标系中画出y1=|x|和y2=-k的图像：

由图像知,-k>0即k<0.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.函数fx=2x-6的零点为　　　　.
【解析】由2x-6=0得x=3.
答案：3
12.(2022·杭州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　.
【解题指南】在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x与y=-x的图像,观看交点的横坐标就是函数f(x)=3x+x的零点;画出函数y=log3x与y=-2的图像,观看交点的横坐标就是函数g(x)=log3x+2的零点;画出函数y=log3x与y=-x的图像,观看交点的横坐标就是函数h(x)=log3x+x的零点.
【解析】画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图像,如图所示

观看图像可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图像可知a<b<c.
答案：a<b<c
13.(2022·西安高一检测)已知函数f(x)=ax2+2x+1,-2<x≤0,ax-3,x>0有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】由于函数f(x)=ax2+2x+1,-2<x≤0,ax-3,x>0
有3个零点,大致图像如图：

所以a>0且f(x)=ax2+2x+1在(-2,0]上有2个零点,
所以a>0,a(-2)2+2×(-2)+1>0,-2<-1a<0,4-4a>0,
解得34<a<1.
答案：34,1
14.(2022·锦州高一检测)生产确定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+12x2(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为猎取最大利润,应生产这种商品的数量为　　　　　　件.
【解析】y=20x-c(x)=20x-20-2x-12x2=
-12x2+18x-20.所以x=18时,y有最大值.
答案：18
15.(2022·苏州高一检测)已知y=x(x-1)(x+1)的大致图像如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是　　　　.
①有三个实根;
②x>1时恰有一实根;
③当0<x<1时恰有一实根;
④当-1<x<0时恰有一实根;
⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根).
【解题指南】借助图像平移及函数零点的等价转化方式求解.
【解析】f(x)的图像是将函数y=x(x-1)(x+1)的图像向上平移0.01个单位得到,故f(x)的图像与x轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),0,12和12,1内,故只有①⑤正确.
答案：①⑤
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知函数fx的图像是连续不断的,有如下的x,fx对应值表：
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
fx
-3.51
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数fx在哪几个区间内有零点?为什么?
【解析】由于函数的图像是连续不断的,并且由对应值表可知f-2·f-1.5
<0,f-0.5·f0<0,f0·f0.5<0,
所以函数fx在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.
【变式训练】方程x2-1x=0在(-∞,0)内是否存在实数解?并说明理由.
【解析】不存在,由于当x<0时,-1x>0.所以x2-1x>0恒成立,故不存在x∈(-∞,0),使x2-1x=0.
17.(12分)(2022·安徽师大附中高一检测)已知函数f(x)=2|x+1|+ax(x∈R).
(1)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围.
(2)若函数f(x)的图像与x轴有两个不同的交点,求a的取值范围.
【解析】(1)化简f(x)=(a+2)x+2,x≥-1,(a-2)x-2,x<-1,
由f(x)在R上为增函数,得a+2>0,a-2>0,得a>2.
又x=-1时,y1=-a,y2=-a,
故a的范围为(2,+∞).
(2)由(1)可知f(x)恒过(-1,-a),若函数f(x)图像与x轴有两个不同的交点,则
a+2<0,a-2>0,-a>0或a+2>0,a-2<0,-a<0,解得0<a<2.
18.(12分)(2022·景德镇高一检测)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)
(0<a<1).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的零点.
(3)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.
【解析】(1)要使函数有意义,则有1-x>0,x+3>0,
解得-3<x<1.所以函数的定义域为(-3,1).
(2)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3),
由f(x)=0得-x2-2x+3=1即x2+2x-2=0,解得x=-1±3.
由于-1±3∈(-3,1),所以f(x)的零点是-1±3.
(3)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)
=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].
由于-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4,
由于0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
即f(x)min=loga4,所以loga4=-4得a-4=4,
所以a=4-14=22.
19.(12分)(2022·合肥高一检测)某种海洋生物身体的长度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系：f(t)=101+2-t+4(设该生物诞生时t=0).
(1)需经过多长时间,该生物的身长超过8米?
(2)该生物诞生后第3年和第4年各长了多少米?并据此推断,这2年中哪一年长得更快.
【解析】(1)由f(t)=101+2-t+4≥8,即2-t+4≤14,解得t≥6,
即该生物6年后身长超过8米.
(2)由于f(3)-f(2)=101+2-101+22=43,
f(4)-f(3)=101+20-101+21=53,
所以,第3年长了43米,第4年长了53米,由于53>43,所以第4年长得快.
20.(13分)(2022·大庆高一检测)旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若旅游团人数多于30人,则赐予优待,每多1人,机票费每张削减10元,但旅游团人数最多为75人.
(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数.
(2)旅游团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
【解析】(1)设旅游团人数为x人,飞机票价格为y元,依题意,当1≤x≤30时,y=900,
当30<x≤75时,y=900-10(x-30)=-10x+1200
所以所求函数为：y=900,1≤x≤30,-10x+1 200,30<x≤75.
(2)设利润函数为f(x),则
f(x)=y·x-15000=
900x-15 000,1≤x≤30,-10x2+1 200x-15 000,30<x≤75.
当x∈[1,30]时,f(x)max=f(30)=12000(元),
当x∈(30,75]时,
f(x)max=f(60)=21000元>12000元,
所以旅游团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
【误区警示】本题易因忽视题设条件“但旅游团人数最多为75人”而遗忘限定x的上界.
【变式训练】某工厂生产商品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,打算提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将商品A的年产销量削减了10p万件.
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围.
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.
【解析】由题意知,当开发费是商品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80×(80-10p)万元,
新产品开发金额f(p)=80×(80-10p)×p%(万元).
(1)由题设知80×(80-10p)×p%≥96,0<p<8,
解得2≤p≤6.
即新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为2≤p≤6.
(2)当0<p<8时,f(p)=80×(80-10p)×p%
=-8(p-4)2+128.
所以当p=4时,f(p)max=128.
即当p=4时,每年提出的开发费最高,可达到128万元.
21.(14分)(2022·台州高一检测)已知函数f(x)=
log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值.
(2)设函数g(x)=log2a·2x-43a,其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个交点,求a的取值范围.
【解析】(1)由于f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,
所以f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)对任意x∈R恒成立.
即：log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立,
所以k=-1.
(2)由于a>0,所以g(x)=log2a·2x-43a定义域为log243,+∞,也就是满足2x>43.
由于函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个交点,
所以方程log2(4x+1)-x=log2a·2x-43a在(log243,+∞)上只有一解.
即：方程4x+12x=a·2x-43a在log243,+∞上只有一解,
令2x=t,则t>43,因而等价于关于t的方程(a-1)t2-43at-1=0(*)在43,+∞上只有一解.
①当a=1时,解得t=-34∉43,+∞,不合题意;
②当0<a<1时,记h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图像的对称轴t=2a3(a-1)<0,
所以函数h(t)=(a-1)t2-43at-1在(0,+∞)上是削减的,而h(0)=-1,
所以方程(*)在43,+∞无解;
③当a>1时,记h(t)=(a-1)t2-43at-1.其图像的对称轴t=2a3(a-1)>0,
所以,只需h43<0,即169(a-1)-169a-1<0,此式恒成立.
所以此时a的范围为a>1.
综上所述,所求a的取值范围为a>1.
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