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课时提升作业(六十)
一、选择题
1.2022年10月11日,中国作家莫言被授予诺贝尔文学奖,成为有史以来首位获得诺贝尔文学奖的中国籍作家.某学校组织了4个课外爱好阅读小组阅读莫言的名著.现从中抽出2个小组进行学习成果汇报,在这个试验中,基本大事的个数为
( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
2.(2021·安庆模拟)下列四个命题:
①对立大事确定是互斥大事;
②若A,B为两个大事,则P(A∪B)=P(A)+P(B);
③若大事A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;
④若大事A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立大事.
其中错误命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3.有3个爱好小组,甲、乙两位同学各自参与其中一个小组,每位同学参与各个小组的可能性相同,则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.(2021·铜川模拟)从一群正在参与玩耍的孩子中随机抽出k人,每人分一个苹果,让他们返回连续玩耍.过一会儿,再从中任取m人,发觉其中有n个孩子曾分过苹果,估量参与玩耍的孩子的人数为( )
(A) (B)
(C)k+m-n (D)k+m+n
5.某城市2022年的空气质量状况如表所示:
污染指数
T
[0,
30]
(30,
60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为略微污染.该城市2011年空气质量达到良或优的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
6.(2021·宝鸡模拟)把一颗骰子投掷两次,观看毁灭的点数,并记第一次毁灭的点数为m,其次次毁灭的点数为n,向量p=(m,n),q=(-2,1),则p⊥q的概率为
( )
(A) (B) (C) (D)
7.(2021·汉中模拟)把一个质地均匀的骰子掷两次,至少有一次骰子的点数为2的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
8.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为大事Cn(2≤n≤5,n∈N),若大事Cn的概率最大,则n的全部可能值为( )
(A)3 (B)4 (C)2和5 (D)3和4
二、填空题
9.(2021·合肥模拟)在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为 .
10.(2021·咸阳模拟)一个质地均匀的正四周体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .
11.(力气挑战题)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参与了不止一个小组,具体状况如图所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .
12.(力气挑战题)把一颗骰子抛掷两次,观看毁灭的点数,并记第一次毁灭的点数为a,其次次毁灭的点数为b,组成方程组则(1)在毁灭点数有2的状况下,方程组只有一个解的概率为 .(2)只有正数解的概率为 .
三、解答题
13.(2022·江西高考)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),
C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率.
(2)求这3点与原点O共面的概率.
14.(2022·山东高考)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
15.(2021·宝鸡模拟)某市为增加市民的环境疼惜意识，面对全市征召义务宣扬志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣扬活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下，该县打算在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣扬阅历，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
答案解析
1.【解析】选C.设4个小组分别为a,b,c,d,从中抽取2个,则全部的结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个.
2.【解析】选D.由对立大事及互斥大事的概念可知①正确;当A,B两个大事互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),所以②错误;③错误;当A,B是互斥大事时,若P(A)+P(B)=1,则A,B是对立大事,④错误.
3.【思路点拨】先给各爱好小组编号,然后列举出全部的基本大事,利用古典概型解决.
【解析】选A.记3个爱好小组分别为1组,2组,3组,甲参与1组记为“甲1”,则基本大事为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.
记大事A为“甲、乙两位同学参与同一个爱好小组”,其中大事A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个.因此P(A)==.
4.【解析】选B.可以估量每个孩子分到苹果的概率为,故可以估量参与玩耍的孩子的人数为=.
5.【解析】选A.所求概率为++=.
6.【解析】选B.∵p⊥q,
∴p·q=-2m+n=0.
∴n=2m,满足条件的(m,n)有3个,分别为(1,2),(2,4),(3,6),而(m,n)的全部状况共有36个,
故所求概率P==.
7.【思路点拨】可用对立大事的概率公式求解.
【解析】选D.把一个质地均匀的骰子掷两次,共有36种可能的状况,两次骰子的点数都不为2的状况共有25种,故所求概率为1-=.
8.【解析】选D.大事Cn的总大事数为6.只要求出当n=2,3,4,5时的基本大事个数即可.
当n=2时,落在直线x+y=2上的点为(1,1);
当n=3时,落在直线x+y=3上的点为(1,2),(2,1);
当n=4时,落在直线x+y=4上的点为(1,3),(2,2);
当n=5时,落在直线x+y=5上的点为(2,3),
明显当n=3,4时,大事Cn的概率最大,均为.
9.【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x2+y2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.
答案：
10.【解析】应用列举法共有16种等可能状况:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种状况,所以所求概率为.
答案：
11.【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种状况,故他属于至少2个小组的概率为
P==.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立大事是“3个小组”.
故他属于不超过2个小组的概率是
P=1-=.
答案：
【方法技巧】方程思想在概率方面的应用
利用互斥大事中的基本大事的概率之间的计算公式,通过方程思想反求基本大事的概率,这体现了学问与方法上的纵横交汇.
12.【解析】(1)方程组无解⇔a=2b(因该方程组不会毁灭很多组解的状况).
又由于毁灭点数有2的状况共有11种,
而当a=2,b=1;a=4,b=2时,方程组无解,
所以毁灭点数有2的状况下,方程组只有一个解的概率P1=1-=.
(2)如图所示,直线ax+by=3与x轴、y轴的交点分别为(,0),(0,),直线2x+y=2与x轴、y轴的交点分别为(1,0),(0,2),要使方程组有正数解,则
或
即或
当a=1,2时,b=2,3,4,5,6;
当b=1时,a=4,5,6,
所以方程组只有正数解的概率P2==.
答案：(1) (2)
13.【解析】从这6个点中随机选取3个点的全部可能结果是:x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4种;
y轴上取2个点的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4种;
z轴上取2个点的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4种;
所选取的3个点在不同坐标轴上的有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,
A2B2C1,A2B2C2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的全部可能结果共20种.
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的全部可能结果有A1B1C1,A2B2C2,共2种,因此,这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1==.
(2)选取的这3个点与原点O共面的全部可能结果有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,
B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12种,因此,这3个点与原点O共面的概率为P2==.
14.【解析】(1)从五张卡片中任取两张的全部可能状况有如下10种:红1红2,
红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种状况,故所求的概率为.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种状况外,多出5种状况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种状况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种状况,所以概率为.
15.【解析】(1)第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10.
由于第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为:第3组:×6=3;第4组:×6=2;第5组:×6=1.
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人.
(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为=.
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