2021高中数学北师大版选修1-1学案：《双曲线的简单性质》.docx

第8课时双曲线的简洁性质1.了解双曲线的简洁几何性质,并能利用这些简洁几何性质求标准方程.2.进一步把握待定系数法的解题方法.3.进一步理解并把握代数学问在解析几何运算中的作用,提高解方程组和计算的力量,能利用双曲线的定义、标准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分析问题与解决问题的力量.如图,某工厂有一双曲线型自然通风塔,其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该塔最小半径为12米,下口半径为25米,下口半径到最小圆面距离为45米,整个通风塔高为55米,问在建筑过程中,上口半径应当建多少米?问题1:通过阅读教材,完成下表标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形范围焦点顶点焦距|F1F2|=2c(a2+b2=c2)轴长实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b对称性渐近线离心率问题2:试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同椭圆与双曲线的离心率都为.椭圆的离心率e,双曲线的离心率e;椭圆中长轴长大于短轴长,即;双曲线中,虚轴长2b和实轴长2a大小关系;焦点在坐标轴,中心为原点时,椭圆与双曲线的焦点坐标形式全都,即或.在椭圆中,c2=a2-b2,在双曲线中,c2=a2+b2;双曲线渐近线,椭圆渐近线.问题3:双曲线的离心率对双曲线外形的影响用a,b表示双曲线的离心率为e=.双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据.由于ba=,当e的值渐渐时,ba的值就渐渐增大,这时双曲线的外形就从“扁狭”渐渐变得“开阔”,也就说双曲线的“张口”渐渐增大.问题4:实轴和虚轴长相等的双曲线叫作双曲线,它的渐近线方程为y=,离心率e=.1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是().A.2B.22C.4D.422.双曲线的渐近线为y=34x,则双曲线的离心率是().A.54B.2C.54或53D.52或1533.双曲线x216-y29=1的离心率为.4.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,焦距为2c,左顶点为A,虚轴的上端点为B(0,b),若BABF=3ac,求该双曲线的离心率.双曲线的简洁性质求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.依据双曲线的性质求双曲线方程依据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);(2)与双曲线x216-y24=1有公共焦点,且过点(32,2).利用直线与双曲线的位置关系求参数的值已知双曲线方程x2-y24=1,过点P(1,1)的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点,求k的值.求双曲线9y2-4x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.依据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)焦距为10,渐近线方程为y=12x;(2)过点P(3,-2),离心率为52.当k取什么值时,直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36仅有一个公共点.1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是().A.y=3xB.y=33xC.y=3xD.y=2x2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为().A.2B.3C.54D.533.若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的一个焦点为(10,0),则双曲线的标准方程是.4.求双曲线x2-y24=1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程.(2021年湖北卷)已知01问题2:e=ca(0,1)(1,+)2a2b不确定(c,0)(0,c)有无问题3:ca=a2+b2a2=1+b2a2e2-1增大问题4:等轴x2基础学习沟通1.C双曲线标准方程为x24-y28=1,故实轴长为4.2.C焦点在x轴上:ba=34,e=ca=54.焦点在y轴上:ab=34,e=ca=53.3.54实半轴长a=4,虚半轴长b=3,则半焦距c=a2+b2=16+9=5,离心率e=ca=54.4.解:由条件知F(c,0),A(-a,0),BA=(-a,-b),BF=(c,-b),BABF=3ac,-ac+b2=3ac,又b2=c2-a2,c2-a2-4ac=0,e1,e=ca=2+5.重点难点探究探究一:【解析】将原方程转化为x29-y24=1,所以a=3,b=2,c=13,因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-13,0),F2(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=23x.【小结】该方程并非标准形式,首先化成标准形式后,再争辩解决问题.已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.探究二:【解析】(1)(法一)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1,由题意,得ba=43,(-3)2a2-(23)2b2=1,解得a2=94,b2=4,所以双曲线的方程为x294-y24=1.(法二)设所求双曲线方程为x29-y216=(0),将点(-3,23)代入得=14,故所求双曲线方程为x29-y216=14.(2)(法一)设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1,由题意易求c=25.双曲线过点(32,2),(32)2a2-4b2=1,又a2+b2=(25)2,a2=12,b2=8,故所求双曲线方程为x212-y28=1.(法二)设所求双曲线方程为x216-k-y24+k=1,将点(32,2)代入得k=4,故所求双曲线方程为x212-y28=1.【小结】若已知双曲线的渐近线方程为axby=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=.探究三:【解析】设l的方程:y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,=0,k=52.问题上述解法考虑全面吗?是不是忽视了直线与双曲线的特殊位置关系?结论上述解法不全面,忽视了当4-k2=0,即k=2时,l与双曲线渐近线平行,l与双曲线只有一个交点.于是,正确解答为:把y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0,即k=2时,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个交点;当4-k20,k2时,由=0,得k=52.综合上述,k=52或k=2.【小结】本题以双曲线为载体,主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了双曲线的几何性质.在推断直线与双曲线的位置关系时,把直线和双曲线方程联立得到关于x的方程后,留意考虑二次项系数是否为0(为0时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,重合时无交点).思维拓展应用应用一:把方程9y2-4x2=36化为标准形式y24-x29=1,a=2,b=3,c=13,顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-13),(0,13),实轴长是2a=4,虚轴长是2b=6,离心率e=ca=132,渐近线方程y=23x.应用二:(1)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1 (a0,b0),由渐近线方程为y=12x,得ba=12.又2c=10,c=5,a2+b2=c2=25,a2=20,b2=5,故所求双曲线的方程为x220-y25=1.同理可求得焦点在y轴上时双曲线的方程为y25-x220=1.综上,所求双曲线的方程为x220-y25=1或y25-x220=1.(2)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别争辩如下:若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由e=52,得c2a2=a2+b2a2=54.由点P(3,-2)在双曲线上,得9a2-2b2=1. 由得a2=1,b2=14,所以双曲线方程为x2-y214=1;若双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),同理有c2a2=54,2a2-9b2=1,a2+b2=c2,解之得b2=-172(不合题意,舍去),故双曲线的焦点只能在x轴上,所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.应用三:将y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得(4-9k2)x2+18kx-45=0.当4-9k2=0,即k=23时,直线与双曲线的渐近线平行,只有一个公共点.当4-9k20,即k23时,=(18k)2-4(4-9k2)(-45)=0,即k=53,直线与双曲线相切,只有一个公共点.综上所述,当k=23或k=53时,直线与双曲线只有一个公共点.基础智能检测1.C由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=c2-a2=3.又双曲线的渐近线方程是y=bax,即y=3x,选C.2.D依据题意,得2a+2c=22b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍).3.x2-y29=1焦点为(10,0),渐近线方程为y=3x,ba=3,c=10,c2=a2+b2,解得a=1,b=3.双曲线的标准方程为x21-y29=1,即x2-y29=1.4.解:把方程化为标准方程为x212-y222=1,由此可知实半轴长a=1,虚半轴长b=2,顶点坐标是(-1,0),(1,0),c=a2+b2=12+22=5,焦点的坐标是(-5,0),(5,0),渐近线方程为x1y2=0,即y=2x.全新视角拓展D由00,sin 0.在双曲线C1中,长半轴a=sin ,短半轴b=cos ,半焦距c=1,离心率为e=ca=1sin;在双曲线C2中,长半轴a=cos ,短半轴b=sin ,半焦距c=1,离心率为e=ca=1cos.故双曲线C1与C2的焦距相等.思维导图构建|x|a,yR(-a,0)、(a,0)关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称e=ca1有两条,其方程为y=bax