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第8课时 双曲线的简洁性质
1.了解双曲线的简洁几何性质,并能利用这些简洁几何性质求标准方程.
2.进一步把握待定系数法的解题方法.
3.进一步理解并把握代数学问在解析几何运算中的作用,提高解方程组和计算的力量,能利用双曲线的定义、标准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分析问题与解决问题的力量.
如图,某工厂有一双曲线型自然通风塔,其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该塔最小半径为12米,下口半径为25米,下口半径到最小圆面距离为45米,整个通风塔高为55米,问在建筑过程中,上口半径应当建多少米?
问题1:通过阅读教材,完成下表
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
范围
焦点
顶点
焦距
|F1F2|=2c(a2+b2=c2)
轴长
实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b
对称性
渐近线
离心率
问题2:试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同
①椭圆与双曲线的离心率都为 .椭圆的离心率e∈ ,双曲线的离心率e∈ ;
②椭圆中长轴长大于短轴长,即 ;双曲线中,虚轴长2b和实轴长2a大小关系 ;
③焦点在坐标轴,中心为原点时,椭圆与双曲线的焦点坐标形式全都,即 或 .在椭圆中,c2=a2-b2,在双曲线中,c2=a2+b2;
④双曲线 渐近线,椭圆 渐近线.
问题3:双曲线的离心率对双曲线外形的影响
①用a,b表示双曲线的离心率为e= .
②双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据.由于ba= ,当e的值渐渐 时,ba的值就渐渐增大,这时双曲线的外形就从“扁狭”渐渐变得“开阔”,也就说双曲线的“张口”渐渐增大.
问题4:实轴和虚轴长相等的双曲线叫作 双曲线,它的渐近线方程为y= ,离心率e= .
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ).
A.2 B.22 C.4 D.42
2.双曲线的渐近线为y=±34x,则双曲线的离心率是( ).
A.54 B.2 C.54或53 D.52或153
3.双曲线x216-y29=1的离心率为 .
4.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,焦距为2c,左顶点为A,虚轴的上端点为B(0,b),若BA·BF=3ac,求该双曲线的离心率.
双曲线的简洁性质
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
依据双曲线的性质求双曲线方程
依据下列条件,求双曲线方程:
(1)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);
(2)与双曲线x216-y24=1有公共焦点,且过点(32,2).
利用直线与双曲线的位置关系求参数的值
已知双曲线方程x2-y24=1,过点P(1,1)的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点,求k的值.
求双曲线9y2-4x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
依据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.
(1)焦距为10,渐近线方程为y=±12x;
(2)过点P(3,-2),离心率为52.
当k取什么值时,直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36仅有一个公共点.
1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是( ).
A.y=±3x B.y=±33x C.y=±3x D.y=±2x
2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为( ).
A.2 B.3 C.54 D.53
3.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点为(10,0),则双曲线的标准方程是 .
4.求双曲线x2-y24=1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程.
(2021年·湖北卷)已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的( ).
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
考题变式(我来改编):
第8课时 双曲线的简洁性质
学问体系梳理
问题1:|x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c) A1(-a,0)、A2(a,0) A1(0,-a)、A2(0,a) 关于x轴、y轴成轴对称,关于原点成中心对称 xa±yb=0 xb±ya=0 e=ca>1
问题2:①e=ca (0,1) (1,+∞) ②2a>2b 不确定
③(±c,0) (0,±c) ④有 无
问题3:①ca=a2+b2a2=1+b2a2 ②e2-1 增大
问题4:等轴 ±x 2
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1.C 双曲线标准方程为x24-y28=1,故实轴长为4.
2.C ①焦点在x轴上:ba=34,e=ca=54.
②焦点在y轴上:ab=34,e=ca=53.
3.54 ∵实半轴长a=4,虚半轴长b=3,则半焦距c=a2+b2=16+9=5,∴离心率e=ca=54.
4.解:由条件知F(c,0),A(-a,0),
∴BA=(-a,-b),BF=(c,-b),
∵BA·BF=3ac,∴-ac+b2=3ac,
又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0,
∵e>1,∴e=ca=2+5.
重点难点探究
探究一:【解析】将原方程转化为x29-y24=1,所以a=3,b=2,c=13,
因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-13,0),F2(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=±23x.
【小结】该方程并非标准形式,首先化成标准形式后,再争辩解决问题.已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.
探究二:【解析】(1)(法一)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1,
由题意,得ba=43,(-3)2a2-(23)2b2=1,
解得a2=94,b2=4,所以双曲线的方程为x294-y24=1.
(法二)设所求双曲线方程为x29-y216=λ(λ≠0),
将点(-3,23)代入得λ=14,
故所求双曲线方程为x29-y216=14.
(2)(法一)设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1,由题意易求c=25.
∵双曲线过点(32,2),
∴(32)2a2-4b2=1,
又∵a2+b2=(25)2,∴a2=12,b2=8,
故所求双曲线方程为x212-y28=1.
(法二)设所求双曲线方程为x216-k-y24+k=1,将点(32,2)代入得k=4,
故所求双曲线方程为x212-y28=1.
【小结】若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.
探究三:【解析】设l的方程:y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
∵Δ=0,∴k=52.
[问题]上述解法考虑全面吗?是不是忽视了直线与双曲线的特殊位置关系?
[结论]上述解法不全面,忽视了当4-k2=0,即k=±2时,l与双曲线渐近线平行,l与双曲线只有一个交点.
于是,正确解答为:
把y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
当4-k2=0,即k=±2时,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个交点;
当4-k2≠0,k≠±2时,由Δ=0,得k=52.
综合上述,k=52或k=±2.
【小结】本题以双曲线为载体,主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了双曲线的几何性质.在推断直线与双曲线的位置关系时,把直线和双曲线方程联立得到关于x的方程后,留意考虑二次项系数是否为0(为0时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,重合时无交点).
思维拓展应用
应用一:把方程9y2-4x2=36化为标准形式y24-x29=1,
∴a=2,b=3,c=13,
∴顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-13),(0,13),
实轴长是2a=4,虚轴长是2b=6,离心率e=ca=132,
渐近线方程y=±23x.
应用二:(1)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0),由渐近线方程为y=±12x,
得ba=12.
又∵2c=10,∴c=5,∴a2+b2=c2=25,
∴a2=20,b2=5,故所求双曲线的方程为x220-y25=1.
同理可求得焦点在y轴上时双曲线的方程为y25-x220=1.
综上,所求双曲线的方程为x220-y25=1或y25-x220=1.
(2)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别争辩如下:
若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
由e=52,得c2a2=a2+b2a2=54. ①
由点P(3,-2)在双曲线上,得9a2-2b2=1. ②
由①②得a2=1,b2=14,所以双曲线方程为x2-y214=1;
若双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),
同理有c2a2=54,2a2-9b2=1,a2+b2=c2,
解之得b2=-172(不合题意,舍去),故双曲线的焦点只能在x轴上,所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.
应用三:将y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得
(4-9k2)x2+18kx-45=0.
当4-9k2=0,即k=±23时,直线与双曲线的渐近线平行,只有一个公共点.
当4-9k2≠0,即k≠±23时,Δ=(18k)2-4(4-9k2)·(-45)=0,即k=±53,直线与双曲线相切,只有一个公共点.
综上所述,当k=±23或k=±53时,直线与双曲线只有一个公共点.
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1.C 由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=c2-a2=3.又双曲线的渐近线方程是y=±bax,即y=±3x,选C.
2.D 依据题意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍).
3.x2-y29=1 焦点为(10,0),渐近线方程为y=±3x,
∴ba=3,c=10,c2=a2+b2,解得a=1,b=3.
∴双曲线的标准方程为x21-y29=1,即x2-y29=1.
4.解:把方程化为标准方程为x212-y222=1,由此可知实半轴长a=1,虚半轴长b=2,顶点坐标是(-1,0),(1,0),c=a2+b2=12+22=5,焦点的坐标是(-5,0),(5,0),渐近线方程为x1±y2=0,即y=±2x.
全新视角拓展
D 由0<θ<π4,得cos θ>0,sin θ>0.
在双曲线C1中,长半轴a=sin θ,短半轴b=cos θ,半焦距c=1,离心率为e=ca=1sinθ;
在双曲线C2中,长半轴a'=cos θ,短半轴b'=sin θ,半焦距c'=1,离心率为e'=c'a'=1cosθ.故双曲线C1与C2的焦距相等.
思维导图构建
|x|≥a,y∈R (-a,0)、(a,0) 关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称 e=ca>1 有两条,其方程为y=±bax
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