资源描述
[基础达标]
1．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
解析：选C．令“能上车”记为大事A，则3路或6路车有一辆路过即大事发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.
2．把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”是( )
A．对立大事 B．不行能大事
C．互斥大事 D．必定大事
解析：选C．由于甲、乙、丙3个都可以持有白球，故大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”不行能是对立大事．又大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”不行能同时发生，故两大事的关系是互斥大事．
3．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列大事中概率为1的是( )
A．三个都是正品
B．三个都是次品
C．三个中至少有一个是正品
D．三个中至少有一个是次品
解析：选C．16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机大事，B是不行能大事，C是必定大事，D是随机大事，又必定大事的概率为1.
4．(2022·浙江绍兴一模)从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述大事中，是对立大事的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：选C．从1，2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥大事，所以只有③中的两个大事才是对立的．
5．(2022·福建莆田模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝“抽到一等品”，大事B＝“抽到二等品”，大事C＝“抽到三等品”，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.65 B．0.35
C．0.3 D．0.005
解析：选B．由对立大事的概率公式知，“抽到的不是一等品”的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，__________．
解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97，于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
7．对飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的大事是________，互为对立大事的是________．
解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的全部状况，由于A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥大事，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立大事．
答案：A与B、A与C、B与C、B与D B与D
8．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
分组
[90，100)
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这些苹果中质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
解析：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为20－1－2－3＝14，故约占苹果总数的＝0.70，即70%.
答案：70
9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋0.04＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．某战士射击一次，问：若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？
解：记命中10环为大事B，命中9环为大事C，命中8环为大事D，至少8环为大事E，不够9环为大事F.
由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝∩，
依据概率的基本性质，
有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；
P(F)＝P(∩)＝1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)
＝0.52.
所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.
[力气提升]
1．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观看点的位置，则大事A＝{点落在x轴上}与大事B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)＞P(B)
B．P(A)＜P(B)
C．P(A)＝P(B)
D．P(A)、P(B)大小不确定
解析：选C．横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的，
故P(A)＝P(B)．
2．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事
B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事
C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事
D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事
解析：选D．由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的Venn图表示，
由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事．
3．(2022·江西鹰潭质检)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．
解析：设摸出红球、白球、黄球的大事分别为A、B、C，由条件知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.65，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.6，
又P(A∪B)＝1－P(C)，
∴P(C)＝0.35，∴P(B)＝0.25.
答案：0.25
4. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参与了不止一个小组，具体状况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种状况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立大事是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案：
5．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估量相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
6．(选做题)(2022·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
由于A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥大事，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
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