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浏阳一中2021年下学期高三班级其次次月考试题
理科数学
时量：120分钟 总分：150分
命题人：谭移民 审题人：黄志明
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一个符合题目要求．
1.已知集合,,则
A． B． C． D．
2.下列命题的说法 错误 的是
A．若复合命题为假命题，则都是假命题．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．对于命题 则．
D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
3.下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
4.已知等差数列满足, ,则它的前10项和
85 135 95 23
5.下列三个数：，大小挨次正确的是
6.已知函数①，②，则下列结论正确的是
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．可以将函数②的图像向左平移个单位得到函数①的图像
7.已知向量,,若与垂直,则的值为
A． B． C． D．
8．已知，满足约束条件若的最小值为，则
9.在中,角的对边分别是,若,则的大小是
A． B． C． D．
10.已知函数，.当时，则函数极值
点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
11.设为单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B.2 C. D．1
12.已知为常数，函数有两个极值点，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分．
13.设为锐角,若,则的值为______
14.设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
15.若函数f(x)=在上增函数,则实数a的取值范围是__.
16.若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，
(Ⅰ)求数列和的通项公式；
(Ⅱ)令n为奇数，
n为偶数，
设数列的前项和，求
18.（本小题满分12分）
有甲乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成果后，得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计
105
已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为.
(Ⅰ)请完成上面的列联表；
(Ⅱ)依据列联表的数据，若按的牢靠性要求，能否认为“成果与班级有关系” ;
(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的同学抽取一人：把甲班优秀的10名同学从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，毁灭的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.
参考公式:
参考数据：
0.10
0.05
0.025
0.010sj.fjjy.org
2.706
3.841
5.024
6.635
19.（本小题满分12分）
如图,在△中,,,点在边上,, ,为垂足.
(Ⅰ)若△的面积为,求的长;
(Ⅱ)若,求角的大小.
20.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（1）证明AB⊥A1C;
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）
如图所示,椭圆的离心率为,且A(0,2)是椭圆C的顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A作斜率为1的直线,设以椭圆C的右焦点F为抛物线的焦点,若点M为抛物线E上任意一点,求点M到直线距离的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值并争辩的单调性；
（2）当时，证明：＞．
浏阳一中2021年下学期高三班级其次次月考理科数学参考答案
一 选择题（每小题5分，共60分）
1-5 AABCA 6-10 CBBCC 11-12 AD
二、填空题(每小题5分。共20分)
13 14 (－∞，] 15 16 560
三、解答题 (本大题共6小题，共70分)
17、（本小题满分12分）
解 (Ⅰ)设数列的公差为d，数列的公比为q，则
由得解得
所以，． …………………5分
(Ⅱ)由，得，
则n为奇数，
n为偶数，
即n为奇数，
n为偶数，
…………………6分
…………………8分
…………………10分
18（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)
优秀
非优秀sj.fjjy.org
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
合计
30
75
105
……………４分
(Ⅱ)依据列联表中的数据，得到
因此有95%的把握认为“成果与班级有关系”. ……………8分
(Ⅲ)设“抽到6或10号”为大事A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，毁灭的点数为（x，y）.
全部的基本大事有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.
大事A包含的基本大事有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个. ……………12分
19（本小题满分12分）
解:(Ⅰ)由已知得,
又,得 …………3分
在△中,由余弦定理得
,
所以的长为 …………………………….6分
(Ⅱ)由于 ………….8分
在△中,由正弦定理得,又,
得,
解得,所以即为所求 …………….12分
20（本小题满分12分）
（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，∵AB=，=，
∴是正三角形，∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB，
∵=E，∴AB⊥面， ∴AB⊥； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
由题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
21（本小题满分12分）
解:(1)由题意可知,
,即
所以椭圆C的方程为:
(2)由(1)可求得椭圆C的右焦点F坐标(1,0) ………….5分
抛物线E的方程为:,而直线的方程为
设动点M为,则点M到直线的距离为
即抛物线E上的点到直线距离的最小值为 ………….12分
（22）（本小题满分12分）
解证：（Ⅰ），由是的极值点得，
即，所以． ………………………………２分
于是，，
由知 在上单调递增，且，
所以是的唯一零点． ……………………………４分
因此，当时，；当时，，所以，函数 在上单调递减，在上单调递增． ……………………………5分
（Ⅱ）解法一 解：当，时，，
故只需证明当时，＞． ………………………………6分
当时，函数在上单调递增，
又，
故在上有唯一实根，且．…………………8分
当时，；当时，，
从而当时， 取得最小值且．
由得,．…………………………………10分
故
==．
综上，当时，． …………………………12分
解法二：当，时，，又,所以
． ………………………………………８分
取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的微小值即最小值为． ……10分
所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞．…………………………………12分
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