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2.3 幂函数（教学设计）
教学目的：
1．通过实例，了解幂函数的概念．
2．具体结合函数的图象，了解幂函数的变化状况．
3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应留意引导同学类比前面争辩一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对争辩这些函数的思路作出指导．
教学重点：从五个具体的幂函数中生疏幂函数的一些性质．
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．
一、新课导入
先看五个具体的问题：
（1）假如张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；
（2）假如正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里是的函数；
（3）假如立方体的边长为a，求立方体的体积，这里是a的函数；
（4）假如一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；
（5）假如某人s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度km/s，这里是的函数．
争辩：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？
它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．
从上述函数中，我们观看到，它们都是形如的函数．
二、师生互动，新课讲解：
1、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数（power function），其中是自变量，是常数．对于幂函数，我们只争辩时的情形．
2、幂函数的图象
在同始终角坐标系内作出幂函数； ； ；；的图象．
观看以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．
定义域
R
R
R
值 域
R
R
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
增
增
公共点
（1,1）
3、幂函数的性质
1）．五个具体的幂函数的性质
（1）函数； ； ；和的图象都通过点（1，1）；
（2）函数；；是奇函数，函数是偶函数；
（3）在区间上，函数，，和是增函数，函数是减函数；
（4）在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近．
2）．一般的幂函数的性质
（1）全部的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
>1时，图象向上，靠近y轴；
0<<1，图景向上，靠近x轴；
=1是条直线。
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地靠近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴正半轴；
（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大．
课堂练习： 已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，且分别取四个值，则相应于曲线的的值依次为 ．
例1：（课本第78页例1）证明幂函数在上是增函数．
变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；（2），；（3），；（4），．
例2：求下列函数的定义域，并推断它们的奇偶性：
（1）；（2）；（3）； （4）
解 （1）函数的定义域是，它是奇函数；
（2）函数即，其定义域是，它是偶函数；
（3）函数即，其定义域是，它既不是奇函数，也不是偶函数；
（4）函数即，其定义域是，它是奇函数．
变式训练2：
（1）. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的全部值为（ A ）．
(A)， (B) ， (C) ， (D) ，，
（2）. 若函数，则函数在其定义域上是（ B ）．
(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数
(C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数
（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为( )
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0} D． R
解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，)，∴＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝，∴x2≠0，即x≠0.
答案：C
例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。
变式训练3：已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.
答案：1
布置作业：
A组：
1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
解析：留意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.
答案：B
2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.
解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．
答案：－1或2
3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．
4．(课本P79习题2.3 NO: 2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．
5．争辩函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并依据图象说出函数的单调性．
6．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．
解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
B组：
1．假如幂函数f(x)＝ (p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0.∴－1<p<3，又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x2.
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