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2021年“四地六校”高三围题
理科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知点是终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3、设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4、函数的图象大致是（ ）
5、下列命题，正确的是（ ）
A．，使得的否定是：，均有．
B．若,则的否命题是：若，则．
C．已知，则是成立的必要不充分条件．
i≥10
开头
i=i-1
i=12，S=1
结束
输出S
Y
N
S=S×i
(第6题图)
D．若，则的逆否命题是真命题．
6．一个用流程图表示的算法如图所示，
则其运行后输出的结果为 ( )
A．132 B．11880
C．1320 D． 以上都不对
7．的开放式中，含的正整数次幂的项共有 ( )
A．2项 B．3项 C．4项 D．6项
8、在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
9、函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是
Ａ. B. C. D.
10、已知函数满足,当时,,若在区间内,函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，只填结果，不要过程）
11、已知等差数列则 ．
12、=
13．如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是
正视图
俯视图
侧视图
3
3
6
2
4
2
14、若向量，满足，，且，则与的夹角为
15、给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16、（本小题13分）某中学在高一开设了4门选修课，每个同学必需且只需选修1门选修课。对于该班级的甲、乙、丙3名同学，回答下面的问题：
（1）求这3名同学选择的选修课互不相同的概率；
（2）某一选修课被这3名同学选修的人数的数学期望．
17、（本小题满分13分）已知函数（）.
（Ⅰ）求在内的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，为锐角，且，，是边上一点，，试求的最大值．
18、（本小题满分13分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面相互垂直，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若,求二面角的的余弦值大小.
19、（本小题满分13分）设非零平面对量，，记为向量、的夹角，规定。若是椭圆的左、右焦点，点分别是椭圆的上顶点、右顶点，且，离心率
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线交椭圆于点，求的取值范围。
20、（本题满分14分）已知函数．
(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；
(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
21、本题设有(1),(2),(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.假如多做,则按所做的前两题计分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换
设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换.
(Ⅰ)求矩阵M；
(Ⅱ)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
(2) (本小题满分7分)选修4-4 参数方程与极坐标
过P(2,0)作倾斜角为α的直线l与曲线E：(θ为参数)交于A,B两点.
(Ⅰ)求曲线E的一般方程及l的参数方程；
(Ⅱ)求sinα的取值范围.
(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)试证明柯西不等式：(a²+b²)(x²+y²)(ax+by)²(a,b,x,yR)；
(Ⅱ)若x²+y²=2且|x||y|,求+的最小值.
2021年“四地六校”高三围题
理科数学参考答案
1C2A3C4B5B6C7B8C9D10C 11、10 12、 13、 14、135 15、①③
16、(1) 3名同学选择的选修课互不相同的概率: ;--------------4分
(2)设某一选修课被这3名同学选择的人数为,则--------------5分
,；,------------8分
,；.---------------10分
所以的分布列为
0
1
2
3
-------------------12分
某一选修课被这3名同学选修的人数的数学期望为．-------------------13分
17、（Ⅰ）
. ……………2分
由，得（）. ……………3分
取，得，又，则；…………………4分
取，得，又，则.…………………5分
∴在上的单调递增区间是，.…………………6分
（Ⅱ）由得.又，则，从而
，∴.…………………………………………………8分
由知是正三角形，，∴，
在中，由正弦定理，得，即.
∵是边上一点，∴，∴，知.
当时，取得最大值8. …………………13分
【另解】在中，由正弦定理，得，∴，
，则
．∵，∴，，
当，即时，取得最大值8. …………………13分
18（Ⅰ）证明：平面平面，,
平面平面，平面，
∵AF平面，∴， …………… 3分
又为圆的直径，∴，且
∴平面………5分
（II）利用图形对称性，可取,以为坐标原点,分别以为的正方向建立空间直角坐标系.……6分
∴,
求得平面的法向量（向内），……9分
平面的法向量（向外）……10分
设二面角的的大小为，则 ……12分
所以二面角的的余弦值大小……13分
19．解：(1)由题可知：，由得，，又∵，∴解得，故椭圆的标准方程为：……4分
(2)当直线为轴时，∵……5分
当直线不为轴时，∵，由题可设直线的方程为：，设，由消去得，…7分，∴
∴=(10分)
令得，，令，则时，
，故在上单调递增，∴，即可得，…12分
综上所述，的取值范围是 …………13分
20、 解：（Ⅰ）由，得，
令，得或．
当变化时，及的变化如下表：
-
+
-
↘
微小值
↗
极大值
↘
由，，，
即最大值为，． ……… 4分
（Ⅱ）由，得．
，且等号不能同时取，，即
恒成立，即． ……… 6分
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，，． ……… 8分
（Ⅲ）由条件，，
假设曲线上存在两点，满足题意，则， 只能在轴两侧，
不妨设，则，且．
是以为直角顶点的直角三角形，，
，
是否存在，等价于方程在且时是否有解． ……… 10分
①若时，方程为，化简得，此方程无解；……… 11分
②若时，方程为，即，
设，则，
明显，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，当时，方程总有解．
对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． ………14分
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