1、学案55曲线与方程导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系自主梳理1曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,假如某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:(1)_都是这个方程的_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2平面解析几何争辩的两个主要问题(1)依据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过曲线的方程争辩曲线的性质3求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示_;(2)写出适合条件p的
2、点M的集合P_;(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)0;(4)化方程f(x,y)0为_;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_自我检测1(2011湛江月考)已知动点P在曲线2x2y0上移动,则点A(0,1)与点P连线中点的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x212一动圆与圆O:x2y21外切,而与圆C:x2y26x80内切,那么动圆的圆心P的轨迹是()A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆3(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x,y)0,点M(x0,y0)不在l上,则方程f(x,y)f(x0,y0)0表示的曲线是()A直线l B与l垂直的一条直
3、线C与l平行的一条直线 D与l平行的两条直线4若M、N为两个定点且|MN|6,动点P满足0,则P点的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5(2011江西)若曲线C1:x2y22x0与曲线C2:y(ymxm)0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A(,) B(,0)(0,)C, D(,)(,)探究点一直接法求轨迹方程例1动点P与两定点A(a,0),B(a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并争辩轨迹是什么曲线变式迁移1已知两点M(2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|0,则动点P(x,y)的轨迹方程为_探究点二定义法求轨迹方程例2(2011包头模拟)已知两
4、个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线变式迁移2在ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C,且满足条件sin Csin Bsin A,则动点A的轨迹方程是()A.1 (y0)B.1 (x0)C.1 (y0)的左支D.1 (y0)的右支探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图所示,从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程变式迁移3已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且.求点P的轨迹C的方程分
5、类争辩思想的应用例(12分)过定点A(a,b)任作相互垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于点M,l2与y轴交于点N,如图所示,求线段MN的中点P的轨迹方程多角度审题要求点P坐标,必需先求M、N两点,这样就要求直线l1、l2,又l1、l2过定点且垂直,只要l1的斜率存在,设一参数k1即可求出P点坐标,再消去k1即得点P轨迹方程【答题模板】解(1)当l1不平行于y轴时,设l1的斜率为k1,则k10.由于l1l2,所以l2的斜率为,l1的方程为ybk1(xa),l2的方程为yb(xa),在中令y0,得M点的横坐标为x1a,4分在中令x0,得N点的纵坐标为y1b,6分设MN中点P的坐标为(x,y)
6、,则有消去k1,得2ax2bya2b20 (x)8分(2)当l1平行于y轴时,MN中点为,其坐标满足方程.综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax2bya2b20.12分【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数,写出l1、l2的直线方程,求出M、N的坐标,求出点P的坐标,得参数方程,消参化为一般方程,本题还要留意直线l1的斜率是否存在【易错点剖析】当AMx轴时,AM的斜率不存在,此时MN中点为,易错点是把斜率不存在的状况忽视,因而丢掉点.1求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简洁明确,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方
7、法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步骤,但最终的证明可以省略(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义动身直接写出轨迹方程,或从曲线定义动身建立关系式,从而求出轨迹方程(3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或简洁求得,则可先将x,y表示为x、y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法(4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x、
8、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程2本节易错点:(1)简洁忽视直线斜率不存在的状况;(2)利用定义求曲线方程时,应考虑是否符合曲线的定义(满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆的一个动点,假如M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D抛物线2(2011唐山模拟)已知A、B是两个定点,且|AB|3,|CB|CA|2,则点C的轨迹为()A双曲线 B双曲线的一支C椭圆 D线段3长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,2,则点C的轨迹是()A线段 B圆 C椭圆 D双曲线4(2011银
9、川模拟)如图,圆O:x2y216,A(2,0),B(2,0)为两个定点直线l是圆O的一条切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是()A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆5已知F1、F2是椭圆1的两个焦点,平面内一个动点M满足|MF1|MF2|2,则动点M的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一个分支C两条射线 D一条射线二、填空题(每小题4分,共12分)6已知两定点A(2,0),B(1,0),假如动点P满足|PA|2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_7(2011泰安月考)已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|3,则顶点A的轨迹方程为_
10、8平面上有三点A(2,y),B,C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为_三、解答题(共38分)9(12分)已知抛物线y24px (p0),O为顶点,A,B为抛物线上的两动点,且满足OAOB,假如OMAB于点M,求点M的轨迹方程10(12分)(2009宁夏,海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线11(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,)和F2(0,)为焦点、离心率为
11、的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x轴,y轴的交点分别为A,B,且.求:(1)点M的轨迹方程;(2)|的最小值学案55曲线与方程自主梳理1(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点M的坐标(2)M|p(M)(4)最简形式(5)曲线上自我检测1C2.A3.C4.A5BC1:(x1)2y21,C2:y0或ymxmm(x1)当m0时,C2:y0,此时C1与C2明显只有两个交点;当m0时,要满足题意,需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点,当圆与直线相切时,m,即直线处于两切线之间时满足题意,则m0或0m.综上知m0或0mB0,表示焦
12、点在x轴上的椭圆;2AB0,表示圆;30A0B,表示焦点在x轴上的双曲线;5A0B,表示焦点在y轴上的双曲线;6A,B0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)若k0,(*)式可化为1.1当1k0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点);2当k1时,(*)式即x2y2a2,点P的轨迹是以原点为圆心,|a|为半径的圆(除去A、B两点);3当k1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)变式迁移1y28x解析由题意:(4,0),(x2,y),(x2,y),|0,(x2)4y00,移项两边平方,化简得y28x.例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差
13、为常数,故应考虑是否符合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其方程,而不需再将几何等式借助坐标转化;(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需留意:“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念,前者要指出曲线的外形、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围)解如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4,得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有|MO1|r1;由动圆M与圆O2外切,有|MO2|r2.|MO2|MO1|34.点M的轨迹是以O1、O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支a,c2,
14、b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (xb0)连接MO,由三角形的中位线可得|F1M|MO|a (a|F1O|),则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆2BA、B是两个定点,|CB|CA|24|AB|.依据椭圆的定义知,焦点F的轨迹是一个椭圆5D由于|F1F2|2,|MF1|MF2|2,所以轨迹为一条射线64解析设P(x,y),由题知有:(x2)2y24(x1)2y2,整理得x24xy20,配方得(x2)2y24,可知圆的面积为4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法设A(x,y),y0,则D,|CD| 3.化简得(x10)2y236,A、B、C三点构成三角形,A不能落在x轴上,即y0.
15、方法二定义法如图所示,设A(x,y),D为AB的中点,过A作AECD交x轴于E,则E(10,0)|CD|3,|AE|6,A到E的距离为常数6.A的轨迹为以E为圆心,6为半径的圆,即(x10)2y236.又A、B、C不共线,故A点纵坐标y0.故A点轨迹方程为(x10)2y236 (y0)8y28x解析,.,0,得2x0,得y28x.9解设M(x,y),直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为ykxb.由OMAB得k.设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由y24px及ykxb消去y,得k2x2x(2kb4p)b20,所以x1x2.消去x,得ky24py4pb0,所以y1y2.(4分
16、)由OAOB,得y1y2x1x2,所以,b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入,得x2y24px0 (x0)(10分)AB斜率不存在时,阅历证也符合上式故M的轨迹方程为x2y24px0 (x0)(12分)10解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由已知得解得又b2a2c2,b,所以椭圆C的方程为1.(4分)(2)设M(x,y),其中x4,4,由已知2及点P在椭圆C上可得2,整理得(1629)x2162y2112,其中x4,4(5分)当时,化简得9y2112,所以点M的轨迹方程为y(4x4)轨迹是两条平行于x轴的线段(7分)当时,方程变形为1,其中x4,4当0时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分当b0,由得,所以曲线C的方程为x21(0x1,0y2)(3分)y2(0x1),y.设P(x0,y0),由于P在C上,有0x01,y2)(10分)(2)|2x2y2,y24,所以|2x215459,当且仅当x21,即x时,上式取等号故|的最小值为3.(14分)