2021高考数学(福建-理)一轮学案55-曲线与方程.docx

学案55　曲线与方程

导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．

自主梳理
1．曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，假如某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________都是这个方程的______．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．平面解析几何争辩的两个主要问题
(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过曲线的方程争辩曲线的性质．
3．求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为________；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．
自我检测
1．(2011·湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)
A．y＝2x2 B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1
2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
3．(2011·佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(　　)
A．直线l B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．(2011·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)

探究点一　直接法求轨迹方程
例1　动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并争辩轨迹是什么曲线．

变式迁移1　已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．
探究点二　定义法求轨迹方程
例2　(2011·包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

变式迁移2　在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 (y≠0)
B.－＝1 (x≠0)
C.－＝1 (y≠0)的左支
D.－＝1 (y≠0)的右支
探究点三　相关点法(代入法)求轨迹方程
例3　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．

变式迁移3　已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝.求点P的轨迹C的方程．

分类争辩思想的应用

例　(12分)

过定点A(a，b)任作相互垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．
多角度审题　要求点P坐标，必需先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．
【答题模板】
解　(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.由于l1⊥l2，
所以l2的斜率为－，
l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程为y－b＝－(x－a)，②
在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－，[4分]
在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋，[6分]
设MN中点P的坐标为(x，y)，则有
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)．③[8分]
(2)当l1平行于y轴时，MN中点为，其坐标满足方程③.
综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思维障碍】
引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为一般方程，本题还要留意直线l1的斜率是否存在．
【易错点剖析】
当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为，易错点是把斜率不存在的状况忽视，因而丢掉点.

1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简洁明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最终的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义动身直接写出轨迹方程，或从曲线定义动身建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或简洁求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．
2．本节易错点：(1)简洁忽视直线斜率不存在的状况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，假如M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
2．(2011·唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．椭圆 D．线段
3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　)
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

4．(2011·银川模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
5．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一个分支
C．两条射线 D．一条射线
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，假如动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．
7．(2011·泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．
8．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，假如OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(12分)(2009·宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)(2011·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－)和F2(0，)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且＝＋.求：
(1)点M的轨迹方程；
(2)||的最小值．

学案55　曲线与方程
自主梳理
1．(1)曲线上的点的坐标　解　(2)曲线上的点　3.(1)曲线上任意一点M的坐标　(2){M|p(M)}　(4)最简形式　(5)曲线上
自我检测
1．C　2.A　3.C　4.A
5．B　[

C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2明显只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，
即直线处于两切线之间时满足题意，
则－<m<0或0<m<.
综上知－<m<0或0<m<.]
课堂活动区
例1　解题导引　①在推断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅依据方程的外表草率地作出推断；
②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；
③一般地，方程＋＝1所表示的曲线有以下几种状况：
1°　A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆；
2°　A＝B>0，表示圆；
3°　0<A<B，表示焦点在y轴上的椭圆；
4°　A>0>B，表示焦点在x轴上的双曲线；
5°　A<0<B，表示焦点在y轴上的双曲线；
6°　A，B<0，无轨迹．
解　设点P(x，y)，则kAP＝，kBP＝.
由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2 (x≠±a)．(*)
(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．
(2)当k≠0时，(*)式即－＝1，
①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．
②若k<0，(*)式可化为＋＝1.
1°　当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)；
2°　当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；
3°　当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)．
变式迁移1　y2＝－8x
解析　由题意：＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∵||||＋·＝0，
∴·＋(x－2)·4＋y·0＝0，
移项两边平方，化简得y2＝－8x.
例2　解题导引　(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；
(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需留意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的外形、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
解　

如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
设动圆M的半径为r，则
由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3<4.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1 (x<0)．
变式迁移2　D　[∵sin C－sin B＝sin A，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝|BC|＝a(定值)．
∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为，焦距为|BC|＝a.
∴虚半轴长为 ＝a，由双曲线标准方程得为－＝1 (y≠0)的右支．]
例3　解题导引　相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．
解　设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
联立①②解得③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x－y＝1.④
③代入④，得动点P的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
变式迁移3　解　设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
＝，又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)
得x0＝x，y0＝(1＋)y.
由于|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，
所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，
化简得＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.
课后练习区
1．B　[

如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为＋＝1，其中a>b>0)．
连接MO，由三角形的中位线可得
|F1M|＋|MO|＝a (a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]
2．B　[A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2<|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．]
3．C　[设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即②
代入①式整理可得x2＋＝1.]
4．B　[

设抛物线的焦点为F，由于A、B在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝8>4＝|AB|.
依据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]
5．D　[由于|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以轨迹为一条射线．]
6．4π
解析　设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.
7．(x－10)2＋y2＝36 (y≠0)
解析　方法一　直接法．
设A(x，y)，y≠0，则D，
∴|CD|＝ ＝3.
化简得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
方法二　

定义法．如图所示，
设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，
则E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距离为常数6.
∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0.
故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36 (y≠0)．
8．y2＝8x
解析　＝，＝.
∵⊥，∴·＝0，
得2·x－·＝0，得y2＝8x.
9．解　设M(x，y)，直线AB斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－.
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以＝－，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－代入，
得x2＋y2－4px＝0 (x≠0)．(10分)
AB斜率不存在时，阅历证也符合上式．
故M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0 (x≠0)．(12分)
10．解　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①当λ＝时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)．
轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)
②当λ≠时，方程变形为＋＝1，
其中x∈[－4,4]．
当0<λ<时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．
当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．(12分)
11．解　(1)椭圆的方程可写为＋＝1，其中a>b>0，
由得，所以曲线C的方程为x2＋＝1(0<x<1,0<y<2)．(3分)
y＝2(0<x<1)，y′＝－.
设P(x0，y0)，由于P在C上，有0<x0<1，
y0＝2，y′|x＝x0＝－，
得切线AB的方程为y＝－(x－x0)＋y0.
(6分)
设A(x,0)和B(0，y)，由切线方程得x＝，y＝.
由＝＋得点M的坐标为(x，y)，
由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为＋＝1(x>1，y>2)．(10分)
(2)||2＝x2＋y2，y2＝＝4＋，
所以||2＝x2－1＋＋5≥4＋5＝9，
当且仅当x2－1＝，即x＝时，上式取等号．
故||的最小值为3.(14分)