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圆锥曲线中的探究性问题
[典例] (2022·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[审题视角] 第(1)问，由椭圆的离心率和椭圆上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3这两个条件，可求得椭圆方程；第(2)问，先假设存在满足条件的点M，将其代入椭圆方程，得出m，n的一个关系式，再在△OAB中，由直线l与圆O相交于不同的两点，得Δ>0，由根与系数的关系，利用设而不求的方法表示出△OAB的面积，结合前面所得到的m，n的关系式和Δ>0的限制条件，可推断点M是否存在．
[解析] (1)解：由e＝得a2＝3b2，所以椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，椭圆上的点到Q的距离，
d＝
＝
＝(－b≤y≤b)
①当－b≤－1时，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1，
②当－b>－1时，即b<1，
dmax＝＝3得b＝1(舍去)．
∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．
假设存在满足条件的点M，由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d＝<1.
由于点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.
由于|AB|＝2＝2，
所以S△OAB＝·|AB|·d＝
＝≤＝
当且仅当1＝m2时等号成立，所以m2＝∈(0,3]
因此当m＝±，n＝±时等号成立，
所以满足要求的点M的坐标为(，)，(，－)，(－，)或(－，－)，此时对应的三角形的面积均达到最大值.
探究性问题答题模板：
第一步：假设结论存在．
其次步：结合已知条件进行推理求解．
第三步：若能推出合理结果，阅历证成马上可确定正确；若推出冲突，即否定假设．
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．如本题中易忽视直线l与圆O相交(d＝<1)这一隐含条件．
1．(2021·北京理，19)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，推断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)，
由于四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)假设四边形OABC为菱形．
由于点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消y并整理得，
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M(－，)．
由于M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.
由于k·(－)≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设冲突．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不行能是菱形．
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