1、圆锥曲线中的探究性问题典例(2022广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由审题视角第(1)问，由椭圆的离心率和椭圆上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3这两个条件，可求得椭圆方程；第(2)问，先假设存在满足条件的点M，将其代入椭圆方程，得出m，n的一个关系式，再在OAB中，由直线l与圆O相交于不同的两点，得
2、0，由根与系数的关系，利用设而不求的方法表示出OAB的面积，结合前面所得到的m，n的关系式和0的限制条件，可推断点M是否存在解析(1)解：由e得a23b2，所以椭圆方程为x23y23b2，椭圆上的点到Q的距离，d(byb)当b1时，即b1，dmax3得b1，当b1时，即b1，dmax3得b1(舍去)b1，椭圆C的方程为y21.(2)存在点M满足要求，使OAB的面积最大假设存在满足条件的点M，由于直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d1.由于点M(m，n)在椭圆C上，所以n21m2n2，于是0m23.由于|AB|22，所以SOAB|AB|d当且仅当1m2
3、时等号成立，所以m2(0,3因此当m，n时等号成立，所以满足要求的点M的坐标为(，)，(，)，(，)或(，)，此时对应的三角形的面积均达到最大值.探究性问题答题模板：第一步：假设结论存在其次步：结合已知条件进行推理求解第三步：若能推出合理结果，阅历证成马上可确定正确；若推出冲突，即否定假设第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范如本题中易忽视直线l与圆O相交(d1)这一隐含条件1(2021北京理，19)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，推断四边形OABC是否可能为菱形，并说
4、明理由解：(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2,0)，由于四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)假设四边形OABC为菱形由于点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得，(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M(，)由于M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.由于k()1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设冲突所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不行能是菱形
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