【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：数学归纳法.docx

2021届高三数学（理）提升演练：数学归纳法

一、选择题
1．假如命题P(n)对 n＝k 成立，则它对 n＝k＋2 也成立，若P(n) 对n＝2 也成立，则下列结论正确的是 (　　)
A．P(n)对全部正整数 n 都成立
B．P(n)对全部正偶数 n 都成立
C．P(n)对全部正奇数 n 都成立
D．P(n)对全部自然数 n 都成立
2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取 (　　)
A．2 B．3 C．5 D．6
3．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
即＜k＋1，
则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法 (　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
4．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，其次步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到 (　　)
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D． 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是 (　　)
A．(k＋1)2＋2k2　　　 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，其次步归纳假设应写成 (　　)
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确
C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确
D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确
二、填空题
7．对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.
依据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．
8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，
则 f(k＋1)－f(k)＝________.
9．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推想cn＝________.
三、解答题
10．数列{an} 满足 Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项 an 的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

11．用数学归纳法证明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．

12．已知等比数列{an}的首项 a1＝2, 公比q＝3, Sn是它的前n项和. 求证：≤.

详解答案

一、选择题
1．解析：由题意 n＝k 时成立，则n＝k＋2时也成立，
又n＝2时成立，则 P(n) 对全部正偶数都成立．
答案：B
2．解析：分别令 n0＝2,3,5, 依次验证即可．
答案：C
3．解析：此同学从n＝k 到n＝k＋1的推理中没有应用归纳假设．
答案：D
4．解析：把 n＝k＋1 代入 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1, 得1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝
2k－1＋2k.
答案：D
5．解析：本题易被题干误导而错选A, 分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k＋1)2＋k2.
答案：B
6．解析：首先要留意n为奇数，其次还要使n能取到1.
答案：B
二、填空题
7．解析：依题意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15.
答案：15
8．解析：当 n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2, 当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋，增加了2k＋1项．
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
9．解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，
故由归纳推理得cn＝.
答案：
三、解答题
10．解：(1)a1＝1，a2＝， a3＝，a4＝，由此猜想 an＝(n∈N*)．
(2)证明：当n＝1时，a1＝1, 结论成立．
假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立，
即ak＝，
那么 n＝k＋1(k∈N*)时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
＝2＋ak－ak＋1.
∴ak＋1＝＝＝，
这表明 n＝k＋1 时，结论成立．
依据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N* 都成立．
∴an＝(n∈N*)．
11．证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边＜右边，所以不等式成立，
②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＜2.
那么当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
＜2＋＝
＜
＝＝2.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立. 由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．