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高二数学（理）周练15
1.复数的值是( )
A.i B．－I C．i D．－i
2. 3名同学报名参与艺术体操、美术、计算机、航模课外爱好小组，每人选报一种，则不同的报名种数有( )
A．3 B．12 C．34 D．43
3.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝( )
A．0.2 B． 0.1 C．3 D．0.4
4.的开放式中的系数是( )
A．16 B．70 C．1120 D．560
5.在4次独立重复试验中，大事毁灭的概率相同，若大事A至少毁灭一次的概率
为，则大事A在一次试验中毁灭的概率为( )
A. B. C. D.
6.利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>时，由k递推到k＋1左边应添加的因式是( )
A. B.＋ C. － D.
7. 在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（ ）
A． B． C． D．
8.a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4 C.≥a＋b D.≥
9.下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
10.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，
g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
11.已知一个回归方程为＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，则＝________.
12.观看下表：
1 2 3 4……第一行
2 3 4 5……其次行
3 4 5 6……第三行
4 5 6 7……第四行
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
第一列 其次列 第三列 第四列
依据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为
13.已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是
14. 函数的最小值为_____________。
15.函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；
④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是________．
16.设有关于的不等式
（1） 当时，解此不等式；
（2） 当为何值时，此不等式的解集是。
17.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，)，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)试判定直线l和圆C的位置关系．
18.气象部门供应了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t(单位：℃)
t≤22
22<t≤28
28<t≤32
t>32
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门供应的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.
某水果商依据多年的销售阅历，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t(单位：℃)
t≤22
22<t≤28
28<t≤32
t>32
日销售额x(单位：千元)
2
5
6
8
(1)求Y，Z的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
19.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(0，－1)，四个顶点所围成的图形面积为2.直线l：y＝kx＋t与椭圆C相交于A，B两点，且∠AMB＝90°.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试推断直线l是否恒过定点？假如是，求出定点坐标；假如不是，请说明理由．
20.已知函数
(1)当时，求f(x)的单调区间；
(2)假如P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上的任意一点，若以P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数的最小值；
(3)争辩关于x的方程的实根的个数状况．
高二数学（理）参考答案
一、选择题。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
D
C
B
D
B
A
二、填空题：
11、 ； 12、； 13、 [-2,2] ；
14、 9 ； 15、 ①③ 。
三、解答题：
16解：（1）当时，
...........4分
………………………………………………6分
………………………7分
（2）设，则
当且仅当时，取得最小值10……………………………10分
要使的解集为，只要。……………………13分
17解：(1)由题意，直线l的一般方程是y＋5＝(x－1)tan，
直线l的参数方程为(a为参数)．…………………3分
圆C的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，即x2＋y2－8y＝0，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得ρ2－8ρsinθ＝0，
化简得圆C的极坐标方程ρ＝8sinθ．…………………………………6分
(2)由(1)得出圆心M的直角坐标是(0,4)，………………………………7分
直线l的一般方程是x－y－5－＝0，……………………………8分
圆心M到直线l的距离
d＝＝>4，……………………………………12分
所以直线l和圆C相离．………………………………………………13分
18解(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1，
∴Z＝30×0.1＝3，…………………………………………………………3分
Y＝30－(6＋12＋3)＝9…………………………………………………… 4分
(2)P(t≤22)＝＝0.2，P(22＜t≤28)＝＝0.4，P(28＜t≤32)＝＝0.3，
P(t＞32)＝＝0.1，
∴六月份西瓜日销售额X的分布列为
X
2
5
6
8
P
0.2
0.4
0.3
0.1
∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，……………………………7分
D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3……9分
(3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7，
∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝＝………13分
19解：(1)由题意得，解得.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1………………………………………4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立椭圆与直线方程，
得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，…………………………………………6分
∴8(2k2－t2＋1)>0且x1＋x2＝－，x1·x2＝，………………8分
∴y1·y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
＝＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝.
∵＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，且∠AMB＝90°，
∴·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋y1＋y2＋1＝＋＋＋1
＝＝＝0，.....................11分
解得t＝或t＝－1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx＋…………13分
∴直线l恒过定点(0，)．…………………………………………14分
20解：(1) 当时，，定义域为(0，＋∞)，……………1分
则...................................2分
令f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1，
所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．………4分
(2)由题意，以P(x0，y0)为切点的切线的斜率k满足k＝f′(x0)＝≤(x0>0)，
所以a≥－x＋x0对x0>0恒成立．………………………………6分
又当x0>0时，－x＋x0≤，所以a的最小值为………………………8分
(3)由题意，方程化简得
b＝lnx－x2＋，x>0，
令h(x)＝lnx－x2－b＋，则h′(x)＝－x＝.
当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．……10分
所以h(x)在x＝1处取得极大值，即最大值，最大值为
h(1)＝ln1－×12－b＋＝－b…………………………………………11分
所以当－b>0时，即b<0时，y＝h(x)的图象与x轴恰有两个交点，方程
有两个实根；…………………………………12分
当b＝0时，y＝h(x)的图象与x轴恰有一个交点，
方程有一个实根；………………………13分
当b>0时，y＝h(x)的图象与x轴无交点，
方程无实根．…………………………14分
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