《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1章末综合检测-.docx

一、选择题1.在ABC中,A=75,C=60,c=1,则最短边的边长等于().A.B.C.D.【解析】由题意知B=45,依据正弦定理:b=.【答案】B2.在ABC中,若sin C=2cos Asin B,则此三角形是().A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】sin C=2cos Asin B,c=2bcos A=2b=,b=a.【答案】A3.在ABC中,若a=2bsin A,则B为().A.B.C.或D.或【解析】依据正弦定理得:sin A=2sin Bsin A,sin B=.【答案】C4.满足A=45,c=,a=2的ABC的个数记为m,则am的值为().A.4B.2C.1D.不定【解析】csin Aac,三角形有两解,故m=2,am=4.【答案】A5.若满足条件AB=,BC=m,C=的ABC有两个,则常数m的取值范围是().A.(1,2)B.(,)C.(,2)D.(,2)【解析】若满足条件的三角形有两个,则BCsin CABBC,即:mm.解得m0,c=3,则BC边上的高为csin B=3=.【答案】B12.在ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,则这个三角形是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】依据正、余弦定理,原式可以化简为ab-bc=ab-ac,整理得:=,解得:a4-b4+c2(b2-a2)=0,整理得:(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或者a2+b2=c2,故为等腰或直角三角形.【答案】C二、填空题13.在亚丁湾某海疆有一执行任务的甲军舰获悉,其正东方向距离20海里处,有一艘货轮遇海盗攻击等待营救,甲舰南偏西30距离10海里处有一艘乙舰,甲、乙两舰共同实施救援行动,此时乙舰与货轮的距离是海里.【解析】依据余弦定理得:d=10 .【答案】10 14.在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=.【解析】由余弦定理得,cos B=-,解得b=4.【答案】415.已知ABC的两条边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆半径为.【解析】不妨令a=2,b=3,cos C=,c2=a2+b2-2abcos C=4+9-223=9,c=3.又sin C=,2R=,R=.【答案】16.在ABC中,AD为BC边上的中线,且AC=2AB=2AD=4,则BD=.【解析】如图所示,设BD=DC=x,由于ADB+ADC=180,所以cosADB=-cosADC.又AC=2AB=2AD=4,由余弦定理得=-,解得x=(x=-舍去),故BD=.【答案】三、解答题17.在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(-sin A,cos A),若|m+n|=2.(1)求角A的大小;(2)若b=4,c=2,求ABC的面积.【解析】(1)|m+n|2=(cos A+-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+2(cos A-sin A)=4+4cos(+A),4+4cos(+A)=4,cos(+A)=0.A(0,),+A=,A=.(2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(4)2+(2)2-242cos,解得a=4,c=4,SABC=44=8.18.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为,求b,c.【解析】(1)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.由于B=-A-C,所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sin(A-)=.又0Ac).求角A的度数以及a,b,c的大小.【解析】由韦达定理b+c=3,bc=4cos A,由正弦定理b=2Rsin B=2sin B,c=2Rsin C=2sin C,2(sin B+sin C)=3,sin Bsin C=cos A.将等式(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C利用平方差公式开放为(sin B+sin C)2-sin2A=3sin Bsin C,把sin B+sin C=,sin Bsin C=cos A代入上式可得:-sin2A=3cos A.整理得:4cos2A-12cos A+5=0,即(2cos A-5)(2cos A-1)=0,cos A=或cos A=(舍去),A=60,bc,b=2,c=1,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A=3,a=.22.某广场有一块不规章的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建筑一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座外形分别为ABC、ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,C=D.(1)求AB的长度;(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建筑费用最低(请说明理由),最低造价为多少?(=1.414,=1.732)【解析】(1)在ABC中,由余弦定理得cos C=,在ABD中,由余弦定理得cos D=,由C=D得cos C=cos D,解得AB=7,所以AB的长度为7米.(2)易知SABD=ADBDsin D,SABC=ACBCsin C,由于ADBDACBC,且C=D,所以SABDSABC.故选择小李的设计将使建筑费用较低.由于cos C=,所以sin C=,故SABC=ACBCsin C=10,所以所求的最低造价为500010=5000086600元.