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第2讲 参数方程
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一、填空题
1．(2022·芜湖模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2021·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为一般方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.
答案 ±
3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
解析 当t＝时，x＝1，y＝2，则M(1,2)，∴直线OM的斜率k＝2.
答案 2
4．(2021·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析 ∵x＝t，且y＝t－a，
消去t，得直线l的方程y＝x－a，
又x＝3cos φ且y＝2sin φ，消去φ，
得椭圆方程＋＝1，右顶点为(3,0)，
依题意0＝3－a，∴a＝3.
答案 3
5．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.
答案
6．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.
答案 4 －1
7．(2022·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
解析 由∴y－x＝1， ①
由ρsin 2θ－4cos θ＝0，
∴ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，即y2－4x＝0， ②
由①②得∴ρ＝＝.
答案
8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
9．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝______.
解析 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的直角坐标方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
答案
二、解答题
10．(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
11．(2021·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并推断M的轨迹是否过坐标原点．
解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹通过坐标原点．
12．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解 (1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，
则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
由于0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
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