高中数学(北师大版)必修四教案：2.2-典例剖析：从位移的合成到向量的加法.docx

典例剖析：从位移的合成到向量的加法
例1 给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，肯定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C

例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，，+.
解 =++=-a+b+c，
∵=++，
∴=-,=-,=,
∴=a-b-c.
+=+++=2=a-2b-c.
例3 设两个非零向量a与b不共线，
（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，
求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.
（1）证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b
=5(a+b)=5.
∴、共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数，使ka+b=(a+kb),
即ka+b=a+kb.
∴(k-)a=(k-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k-=k-1=0，∴k2-1=0.
∴k=±1.

例4 （12分）如图所示，在△ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.
解 设=ma+nb，
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.
又∵A、M、D三点共线，∴与共线.
∴存在实数t,使得=t，
即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴
，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1. ① 5分
又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线. 8分
∴存在实数t1,使得=t1,
a b
∴(m-)a+nb=t1,
∴，
消去t1得,4m+n=1 ② 10分
由①②得m=,n=,
∴=a+b. 12分