东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：直线的倾斜角与斜率-直线的方程A.docx

直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A
一、学问梳理：（阅读必修2第82-99页内容）
1．倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。规定：当直线与l轴平行或重合时，它的倾斜角为00。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象挂念解决；
3、过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4、直线的方向向量：a=（1，k），k是直线的斜率；
5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个相互独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必需留意各种形式的直线方程的适用范围。
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y=kx+b
k——斜率
b——纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)——直线上
已知点，k——斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
+=1
a——直线的横截距
b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
Ax+By+C=0
，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
二、题型探究
[探究一] 直线的倾斜角与斜率
例1：．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ）　 　（Ｂ）　　
（Ｃ）　　 （Ｄ）
【解】：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即
【点评】：此题重点考察相互垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：生疏相互垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的力气。
例2：（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出全部正确答案的序号）
【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。【答案】①⑤
[探究二]：求直线方程
例3：．已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。
解析：（1）将移项、开放括号后合并，即得斜截式方程。
（2）由于点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。
由两点式方程得： 即
（3）由知：直线在y轴上的截距
又令，得， 故直线的截距式方程
点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要把握好它们之间的互化。在解具体问题时，要依据问题的条件、结论，机敏恰当地选用公式，使问题解得简捷、明白。
例4．直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。
解析：设所求直线的方程为，
∵直线过点P（-5，-4），，即。
又由已知有，即，
解方程组，得：或
故所求直线的方程为：，或。
即，或
点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：
（1）从点的坐标或中直接观看出来；
（2）由斜截式或截距式方程确定截距；
（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。
总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算力气更为重要。解题时擅长观看，勤于思考，经常能起到事半功倍的效果。
[探究三]：直线方程综合问题
例5．（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。
【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式

例6．（天津文，14）若圆与圆的公共弦长为，则a=________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，
利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1.
例7：已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。
（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
图
解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，
所以|x+1|=。化简得：y2=4x。
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.
由消y得3x2－10x+3=0，
解得x1=，x2=3。所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2），
|AB|=x1+x2+2=。
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
①
②

由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，解得y=－。
但y=－不符合①，所以由①，②组成的方程组无解
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2。
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，
|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。
当∠CAB为钝角时，cosA=<0。
即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，
即y>时，∠CAB为钝角
当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，
即y<－时，∠CBA为钝角。
又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即，
即。
该不等式无解，所以∠ACB不行能为钝角
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。
解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2。
圆心（）到直线l：x=－1的距离为，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）。
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C 三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不行能是钝角。
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角
过点A且与AB垂直的直线方程为。
令x=－1得y=。过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x－3）。
令x=－1得y=－。又由解得y=2，
所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>（y≠2）。
点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关学问，充分体现了“留意学科学问的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学学问解决问题的力气。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类争辩的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、规律性、周密性、机敏性都进行了不同程度的考查.对运算、化简力气要求也较高，有较好的区分度。
三、 方法提升：

四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题
1． “a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0相互垂直”的(　　)A．充分而不必要条件　　 　B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由1×1－a＝0，得a＝1，∴为充要条件．答案：C
2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1相互垂直，则a等 (　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.也可以代入检验．
答案：D
3．若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角的变化范围是(　　)
A．[－＋kπ，＋kπ](k∈Z) B．[－，]
C．[－，－] D．[0，]∪[，π)
解析：由－1≤k≤，即－1≤tanα≤，∴α∈[0，]∪[，π)．答案：D
4． “m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝－1时，两条直线方程为x＋3y－1＝0和3x－y＋3＝0，明显两直线垂直，充分性成立．反之，当这两直线垂直时，3m＋m(2m－1)＝0得m＝0或－1，必要性不成立．答案：A
5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为 (　　)
A．－2 B．－ C. D．2
解析：本题解题思路是由直线的对称性先确定直线l2的斜率，再由两条直线垂直的条件得出有关直线的斜率．依题意得，直线l2的方程是－x＝2×(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是.由l3⊥l2得l3的斜率等于－2.答案：A
6．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于 (　　)
A．－4 B．－2 C．0 D．2
解析：由直线l的倾斜角得l的斜率为－1，l1的斜率为.∵直线l与l1垂直，∴＝1，得a＝0.又直线l2的斜率为－，∵l1∥l2，∴－＝1，b＝－2.因此a＋b＝－2.答案：B
二、填空题
7．给定三点A(0,1)，B(a,0)，C(3,2)，直线l经过B、C两点，且l垂直AB，则a的值为________．
解析：由题意知AB⊥BC，则·＝－1，解得a＝1或2.
8．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.
解析：由a(a－2)＝1×3且a×2a≠3×6，∴a＝－1.
9．已知直线l的斜率为k，经过点(1，－1)，将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是________．
解析：依题意可设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，即y＝kx－k－1，将直线l向右平移3个单位，得到直线y＝k(x－3)－k－1，再向上平移2个单位得到直线m：y＝k(x－3)－k－1＋2，即y＝kx－4k＋1.由于直线m不经过第四象限，所以应有解得0≤k≤.答案：0≤k≤
三、解答题
10．已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解：(1)法一：当sinθ＝0时，l1的斜率不存在，l2的斜率为零，l1明显不平行于l2.
当sinθ≠0时，k1＝－，k2＝－2sinθ，
欲使l1∥l2，只要－＝0－2sinθ，sinθ＝±，
∴θ＝kπ±，k∈Z，此时两直线截距不相等．
∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，即2sin2θ－1＝0，得sin2θ＝，
∴sinθ＝±，由B1C2－B2C1≠0，即1＋sinθ≠0，即sinθ≠－1，得θ＝kπ±，k∈Z，
∴当θ＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)∵A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
∴2sinθ＋sinθ＝0，即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，
∴当θ＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
11．已知l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，若l1∥l2，求a的值．
解：当a＝0时，l1：x＝－1，l2：x＝2，
此时l1∥l2，∴a＝0满足题意；
当a2＋a＝0，即a＝0(舍去)或a＝－1时，
l1：y＝－1，l2：x＝1，此时l1⊥l2，∴a＝－1不满足题意；
当a≠0且a≠－1时，kl1＝，kl2＝，
∵l1∥l2，
∴＝，
即1－a＝(1－a)(1＋a)2，解得a＝1或a＝－2.
当a＝1时，l1：y＝1，l2：y＝－1，l1、l2不重合；
当a＝－2时，l1：3x－2y－1＝0，l2：－3x＋2y＋2＝0，
l1、l2不重合．∴a＝1或a＝－2满足题意．
综上所述，a＝0或a＝1或a＝－2.
12．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)．
(2)∠MPN是直角．
解：设P(x,0)，(1)∵∠MOP＝∠OPN，
∴OM∥NP.∴kOM＝kNP.又kOM＝＝1，kNP＝＝(x≠5)，
∴1＝，∴x＝7，即P(7,0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1.又kMP＝(x≠2)，kNP＝(x≠5)，
∴×＝－1，解得x＝1或x＝6，即P(1,0)或(6,0)．