东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：直线的倾斜角与斜率-直线的方程A.docx

直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A一、学问梳理：（阅读必修2第82-99页内容）1倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。规定：当直线与l轴平行或重合时，它的倾斜角为00。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象挂念解决；3、过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。4、直线的方向向量：a=（1，k），k是直线的斜率；5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个相互独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必需留意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。二、题型探究探究一 直线的倾斜角与斜率例1：直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( A )（） （）（） （）【解】：直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（），（D） 又将向右平移个单位得，即 【点评】：此题重点考察相互垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：生疏相互垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的力气。例2：（全国文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ） 其中正确答案的序号是 .（写出全部正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。【答案】探究二：求直线方程例3：已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。解析：（1）将移项、开放括号后合并，即得斜截式方程。 （2）由于点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。 由两点式方程得： 即 （3）由知：直线在y轴上的截距 又令，得， 故直线的截距式方程点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要把握好它们之间的互化。在解具体问题时，要依据问题的条件、结论，机敏恰当地选用公式，使问题解得简捷、明白。例4直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。 解析：设所求直线的方程为， 直线过点P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程组，得：或 故所求直线的方程为：，或。 即，或 点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： （1）从点的坐标或中直接观看出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算力气更为重要。解题时擅长观看，勤于思考，经常能起到事半功倍的效果。探究三：直线方程综合问题例5（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式例6（天津文，14）若圆与圆的公共弦长为，则a=_.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1.例7：已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上。（）求动圆圆心的轨迹M的方程；（）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点。（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。（）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.图解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=。化简得：y2=4x。（）（i）由题意得，直线AB的方程为y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A点坐标为（），B点坐标为（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，组成的方程组无解因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。当CAB为钝角时，cosA=|AC|2+|AB|2，即，即y时，CAB为钝角当|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y|AC|2+|BC|2，即，即。该不等式无解，所以ACB不行能为钝角因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。解法二：以AB为直径的圆的方程为（x）2+（y+）2=（）2。圆心（）到直线l：x=1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1，）。当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C 三点不共线时，ACB为锐角，即ABC中，ACB不行能是钝角。因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角过点A且与AB垂直的直线方程为。令x=1得y=。过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得y=2，所以，当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y（y2）。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关学问，充分体现了“留意学科学问的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学学问解决问题的力气。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类争辩的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、规律性、周密性、机敏性都进行了不同程度的考查.对运算、化简力气要求也较高，有较好的区分度。三、 方法提升： 四、反思感悟 五、课时作业一、选择题1 “a1”是“直线xy0和直线xay0相互垂直”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由11a0，得a1，为充要条件答案：C2已知两条直线yax2和y(a2)x1相互垂直，则a等 ()A2 B1 C0 D1解析：由题知(a2)a1a22a1(a1)20，a1.也可以代入检验答案：D3若直线l的斜率k的变化范围是1，则它的倾斜角的变化范围是()Ak，k(kZ) B，C， D0，)解析：由1k，即1tan，0，)答案：D4 “m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy30垂直”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当m1时，两条直线方程为x3y10和3xy30，明显两直线垂直，充分性成立反之，当这两直线垂直时，3mm(2m1)0得m0或1，必要性不成立答案：A5已知直线l1：y2x3，若直线l2与l1关于直线xy0对称，又直线l3l2，则l3的斜率为 ()A2 B C. D2解析：本题解题思路是由直线的对称性先确定直线l2的斜率，再由两条直线垂直的条件得出有关直线的斜率依题意得，直线l2的方程是x2(y)3，即yx，其斜率是.由l3l2得l3的斜率等于2.答案：A6已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2xby10，且直线l2与直线l1平行，则ab等于 ()A4 B2 C0 D2解析：由直线l的倾斜角得l的斜率为1，l1的斜率为.直线l与l1垂直，1，得a0.又直线l2的斜率为，l1l2，1，b2.因此ab2.答案：B二、填空题7给定三点A(0,1)，B(a,0)，C(3,2)，直线l经过B、C两点，且l垂直AB，则a的值为_解析：由题意知ABBC，则1，解得a1或2.8已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_.解析：由a(a2)13且a2a36，a1.9已知直线l的斜率为k，经过点(1，1)，将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是_解析：依题意可设直线l的方程为y1k(x1)，即ykxk1，将直线l向右平移3个单位，得到直线yk(x3)k1，再向上平移2个单位得到直线m：yk(x3)k12，即ykx4k1.由于直线m不经过第四象限，所以应有解得0k.答案：0k三、解答题10已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10，试求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解：(1)法一：当sin0时，l1的斜率不存在，l2的斜率为零，l1明显不平行于l2.当sin0时，k1，k22sin，欲使l1l2，只要02sin，sin，k，kZ，此时两直线截距不相等当k，kZ时，l1l2.法二：由A1B2A2B10，即2sin210，得sin2，sin，由B1C2B2C10，即1sin0，即sin1，得k，kZ，当k，kZ时，l1l2.(2)A1A2B1B20是l1l2的充要条件，2sinsin0，即sin0，k(kZ)，当k，kZ时，l1l2.11已知l1：(a21)xay10，l2：(a1)x(a2a)y20，若l1l2，求a的值解：当a0时，l1：x1，l2：x2，此时l1l2，a0满足题意；当a2a0，即a0(舍去)或a1时，l1：y1，l2：x1，此时l1l2，a1不满足题意；当a0且a1时，kl1，kl2，l1l2，即1a(1a)(1a)2，解得a1或a2.当a1时，l1：y1，l2：y1，l1、l2不重合；当a2时，l1：3x2y10，l2：3x2y20，l1、l2不重合a1或a2满足题意 综上所述，a0或a1或a2.12已知点M(2,2)，N(5，2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标(1)MOPOPN(O是坐标原点)(2)MPN是直角解：设P(x,0)，(1)MOPOPN，OMNP.kOMkNP.又kOM1，kNP(x5)，1，x7，即P(7,0)(2)MPN90，MPNP，kMPkNP1.又kMP(x2)，kNP(x5)，1，解得x1或x6，即P(1,0)或(6,0)