【原创】江苏省2021届高三数学体艺午间小练及答案：解三角形与立体几何(16).docx

高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（16）

1．在DABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5，.
（1） 求和的值；
（2） 设函数，求的值.

2．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．

图①

图②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；
(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；
(3)求证：AD⊥B′E.

参考答案
1．(1) (2)
【解析】
试题分析：
(1)在三角形ABC中,可以利用A,B角的正弦定理把A角的正弦值求出来,由于A,B角都是锐角,所以利用正余弦之间的关系可以求出A,B角的余弦值,再依据三角形的三个内角和为,可得,则利用诱导公式和余弦的和差角公式即可利用A,B角的正余弦值来表示角C的余弦值.进而求的角c的余弦值.
(2)把带入函数的解析式,利用诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)可得,利用余弦值的二倍角公式可以利用角A的正弦值或者余弦值来求的,进而得到的值.
试题解析：
（1）由正弦定理，得. （3分）
∵A、B是锐角，∴ ， （4分）
， （5分）
由 ，得 （6分）
（7分）
（8分）
（2）由（1）知，
∴ （11分）
（12分）
考点：正余弦值的关系 正余弦值的和差角公式 诱导公式 余弦倍角公式
2．（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.由于平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝，B′O＝.所以S△ADC＝××1×＝.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝×S△ADC×B′O＝.
(2)证明：由于H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED， B′E平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.由于HF平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.
(3)证明：连结EO，由(1)知，B′O⊥AD.
由于AE＝，AO＝，∠DAC＝30°，
所以EO＝.
所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.
又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E.