2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查22-正弦定理和余弦定理.docx

开卷速查(二十二)　正弦定理和余弦定理
A级　基础巩固练
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
解析：依据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝×＝，故选B.
答案：B
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B.2
C.　　　　　　　　　 D.1
解析：由正弦定理＝得：＝，
又∵B＝2A，∴＝＝，
∴cosA＝，∴A＝30°.
∴B＝60°，C＝90°，∴c＝ ＝2.
答案：B
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A. B. C. D.
解析：依据正弦定理：asinBcosC＋csinBcosA＝b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝.
又a＞b，∴A＋C＝，∴B＝.故选A项．
答案：A
4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2××3×＝5，即得AC＝.由正弦定理＝，即＝，所以sin∠BAC＝.
答案：C
5．[2022·课标全国Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B.
C．2　　　　　　　　　 D.5
解析：由题意可得AB·BC·sinB＝，
又AB＝1，BC＝，
所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，由余弦定理可得
AC＝＝1，
此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，
与“钝角三角形”条件冲突，舍去．所以B＝135°.
由余弦定理可得
AC＝＝.
答案：B
6．[2022·江西]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C.　　　　　　　　　 D.3
解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6　①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab　②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.
答案：C
7．[2022·福建]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于__________．
解析：方法一　在△ABC中，依据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，由于B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.
方法二　在△ABC中，依据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，由于B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.
答案：2
8．[2022·山东]在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为__________．
解析：依据平面对量数量积的概念得·＝||·||cosA，当A＝时，依据已知可得||·||＝，故△ABC的面积为||·||·sin＝.
答案：
9．在△ABC中，若BC＝1，A＝，sinB＝2sinC，则AB的长度为__________．
解析：∵＝，∴＝，∴AB＝sinC.
又∵sinB＝2sinC，∴sin(A＋C)＝2sinC.
∴sin＝2sinC，∴tanC＝.
∴C＝，∴sinC＝，∴AB＝×＝.
答案：

10．[2022·北京]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解析：(1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×
＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋52－2×8×5×
＝49.
所以AC＝7.
B级　力气提升练
11．[2022·重庆]已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式确定成立的是(　　)
A．bc(b＋c)>8　　　　　　　　　B.ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12　　　　　　　　　D.12≤abc≤24
解析：由于A＋B＋C＝π，由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得sin2A＋sin2B＋sin2C＝，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin2C＝，整理得2sinCcos(A－B)＋2sinCcosC＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，整理得4sinAsinBsinC＝，即sinAsinBsinC＝.又S＝absinC＝bcsinA＝casinB，因此S3＝a2b2c2sinAsinBsinC＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C、D不愿定成立．又b＋c>a>0，因此bc(b＋c)>bc·a≥8，即bc(b＋c)>8，选项A确定成立．又a＋b>c>0，因此ab(a＋b)>ab·c≥8，即ab(a＋b)>8，明显不能得出ab(a＋b)>16，选项B不愿定成立．综上所述，选A.
答案：A
12．[2022·课标全国Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为__________．
解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，
即(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝.又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.
答案：
13．[2022·辽宁]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解析：(1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.
因a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.
14．[2022·湖南]如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
解析：(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝.
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
由于cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝
＝
＝，
sin∠BAD＝
＝
＝.
于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×
＝.
在△ABC中，由正弦定理，＝.
故BC＝＝＝3.